平均场理论中的主方程

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英文标题：
《The Master Equation in Mean Field Theory》
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作者：
Alain Bensoussan, Jens Frehse, Phillip Yam
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In his lectures at College de France, P.L. Lions introduced the concept of Master equation, see [5] for Mean Field Games. It is introduced in a heuristic fashion, from the system of partial differential equations, associated to a Nash equilibrium for a large, but finite, number of players. The method, also explained in[2], consists in a formal analogy of terms. The interest of this equation is that it contains interesting particular cases, which can be studied directly, in particular the system of HJB-FP (Hamilton-Jacobi-Bellman, Fokker-Planck) equations obtained as the limit of the finite Nash equilibrium game, when the trajectories are independent, see [4]. Usually, in mean field theory, one can bypass the large Nash equilibrium, by introducing the concept of representative agent, whose action is influenced by a distribution of similar agents, and obtains directly the system of HJB-FP equations of interest, see for instance [1]. Apparently, there is no such approach for the Master equation. We show here that it is possible. We first do it for the Mean Field type control problem, for which we interpret completely the Master equation. For the Mean Field Games itself, we solve a related problem, and obtain again the Master equation.
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中文摘要：
在法兰西学院的演讲中，P.L.Lions介绍了主方程的概念，参见[5]中的平均场游戏。它是以启发式的方式从偏微分方程系统中引入的，与大量但有限的参与者的纳什均衡相关联。该方法（也在[2]中解释）包括术语的形式类比。该方程的有趣之处在于，它包含了可以直接研究的有趣的特殊情况，尤其是HJB-FP（Hamilton Jacobi Bellman，Fokker-Planck）方程系统，该系统作为有限纳什均衡博弈的极限，当轨迹独立时，参见【4】。通常，在平均场理论中，可以通过引入代表性代理的概念绕过大型纳什均衡，代表性代理的行为受类似代理分布的影响，并直接获得感兴趣的HJB-FP方程组，例如参见[1]。显然，对于主方程没有这样的方法。我们在这里表明这是可能的。我们首先对平均场型控制问题这样做，我们完全解释了主方程。对于平均场对策本身，我们解决了一个相关问题，并再次得到主方程。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Dynamical Systems        动力系统
分类描述：Dynamics of differential equations and flows, mechanics, classical few-body problems, iterations, complex dynamics, delayed differential equations
微分方程和流动的动力学，力学，经典的少体问题，迭代，复杂动力学，延迟微分方程
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-27 12:44:31 上传

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关键词：Differential Mathematical Optimization Conservation distribution

Ceci aétéfait d\'une manière heuristique，一位来自于纳什均衡联盟、非均衡联盟、大联盟和大联盟的系统参与者。在正式竞争中的方法。L\'intérêt de cetteéquation maitresse est qu\'elle contient des casparticuliers intépresents，qui peuventêtre tudiés dicrement，en particulier le system deséquations hjb相应作者（电话：+1 972-883-6117；电子邮件：axb046100@utdallas.edu). 他的研究得到了国家科学基金会DMS-1303775拨款和香港特别行政区研究资助委员会（CityU 500113）的支持。他还感谢卡迪亚拉盖（P.Cardialaguet）提供了有关该主题的笔记。第四位ird作者感谢香港RGC GRF 404012（项目名称：金融和保险多元风险管理高级主题）和香港中文大学DirectGrants 2011/2012（项目编号：2060444）提供的财务支持。预印本提交给2014年11月6日出版的《数学纯粹与贴花杂志》，汉密尔顿·雅各比·贝尔曼和福克·普朗克，纳什均衡有限公司，lorsque Lestrajetoires sont indépendantes【6】。马涅尔·格内拉尔（manière générale）是一位冠军，他在介绍代理概念、代理相似性和代理代理相似性的基础上，发表了一篇文章。如果你能在前头找到一个合适的答案，那就给你一个最好的答案。我们尽可能地控制自己。名词le montrons d\'abord pour les problèmes de contrèle type champ moyen，et nouscaractérisons complètement l\'quation maitresse。

给我一杯香槟，一杯解决问题的酒，一杯新的葡萄酒。关键词：主方程，平均场型控制问题，平均场对策，随机最大值原理，随机HJB方程，线性二次问题SC:35B37，49N70，60H15，91A061。由于我们不打算给出完整的证明，所以我们正式地进行，只要相关的平滑结构使论点变得容易，我们就假定它是相关的平滑结构。我们考虑函数f（x，m，v），g（x，m，v），h（x，m）和σ（x），其中x∈ 注册护士；m是Rn上的概率度量，但我们大多数都保持在正则情况下，其中m表示概率密度，假设在L（Rn）中，v是Rd中的控制。函数f和h是标量，g是Rn中的向量，σ（x）是n×n矩阵。所有这些函数在所有参数中都是不同的。在关于m的可微性的情况下，我们使用G’teaux可微性的概念。确实，F:L（Rn）→ 如果存在唯一的存在，则称R为G’teaux differentiableFm（m）∈ L（Rn），使得ddθF（m+θ￠m）|θ=0=^RnFm（m）（ξ）~m（ξ）dξ。二阶导数是从L（Rn）到自身的线性映射，由ddθ定义Fm（m+θm）（ξ）|θ=0=^RnFm（m）（ξ，η）~m（η）dη。我们可以表述二阶泰勒公式asF（m+~m）=F（m）+RnFm（m）（ξ）~m（ξ）dξ+^Rn^RnFm（m）（ξ，η）~m（ξ）~m（η）dξdη。考虑可能性的速度(Ohm, A、 P）定义了各种维纳过程。我们在Rn中定义了第一个标准维纳过程w（t）。

为了避免繁琐的符号，如果没有歧义，我们将在本文的其余部分支持函数的参数。我们首先介绍了经典的平均场型控制问题，其中状态动态由McKean-Vlasov型随机微分方程表示：dx=g（x，mv（·），v（x））dt+σ（x）dw，x（0）=x；（1.1）其中v（x）是反馈，mv（·）（x，t）是状态x（t）的概率密度。初始值xisa是一个与维纳过程w（·）无关的随机变量。如果a（x）=σ（x）σ的可逆性存在，则该密度可以很好地定义*（x） 。我们定义了二阶微分算子aν（x）=-Xi，jaij（x）^1（x）xixjand及其伴随词A*^1（x）=-Xi，j（aij（x）Д（x））xixj。平均场型控制问题是最小化成本函数lj（v（·））=E^Tf（x（t），mv（·）（t），v（x（t）））dt+h（x（t），mv（·）（t））. （1.2）在经典的平均场对策问题中，应首先确定m（·）∈ C（[0，T]；L（Rn））作为状态方程中的给定参数dx=g（x，m，v（x））dt+σ（x）dw，x（0）=x，（1.3），目标函数j（v（·），m（·））=E^Tf（x（t），m（t），v（x（t）））dt+h（x（t），m（t））. （1.4）平均场对策问题寻找一个平衡点^v（·），m（·），以便J（^v（·），m（·））≤ J（v（·），m（·）），v（·），m（t）是^x（t）的概率密度，t型∈ [0，T]，（1.5），其中^x（·）是（1.3）的解，对应于平衡对^v（·），m（·）。2、经典情况下的主方程我们将问题（1.1）、（1.2）和（1.3）、（1.4）、（1.5）作为经典情况。我们定义了哈密顿量（x，m，q）：Rn×L（Rn）×Rn→ R asH（x，m，q）=infv（f（x，m，v）+q·g（x，m，v）），v的最佳值用^v（x，m，q）表示。然后我们设置g（x，m，q）=g（x，m，^v（x，m，q））。2.1.

平均场型控制问题平均场型控制问题很容易转化为状态为概率密度过程mv（·）的控制问题，满足福克-普朗克方程的解毫伏（·）t+A*mv（·）+div（g（x，mv（·），v（x））mv（·）（x））=0，mv（·）（x，0）=m（x）。（2.1）这里m（x）是初始值x的密度。目标函数J（v（·））可以写成J（v（·））=^T^Rnf（x，mv（·）（T），v（x））mv（·）（x，T）dxdt+^Rnh（x，mv（·）（T））mv（·）（x，T）dx（2.2）我们接下来使用传统不变嵌入方法。确定一系列由初始条件（m，t）指示的控制问题：毫伏（·）s+A*mv（·）+div（g（x，mv（·），v（x））mv（·）（x））=0，mv（x，t）=m（x）；（2.3）Jm，t（v（·））=^Tt^Rnf（x，mv（·）（s），v（x））mv（·）（x，s）dxds+^Rnh（x，mv（·）（t））mv（·）（x，t）dx，（2.4），我们设置v（m，t）=infv（·）Jm，t（v（·））。（2.5）然后我们可以写出V（m，t）满足的动态规划方程。通过标准参数，可以获得五、t型-^RnV（m）m（ξ）A*m（ξ）dξ+infv^Rnf（ξ，m，v（ξ））m（ξ）dξ-^RnV（m）m（ξ）div（g（ξ，m，v（ξ））m（ξ））dξ= 0，V（m，T）='Rnh（x，m）m（x）dx。（2.6）通过设置U（x，m，t）=V（m，t）m（x），我们可以将（2.6）重写为五、t型-^RnAU（ξ，m，t）m（ξ）dξ+^RnH（ξ，m，DU）m（ξ）dξ=0（2.7），因为v中的优化可以在积分内完成。

我们下一步将（2.7）区分为m级^RnH（ξ，m，DU（ξ，m，t））m（ξ）dξ（x） =H（x，m，DU（x））+^RnmH（ξ，m，DU（ξ））（x）m（ξ）dξ+^RnG（ξ，m，DU（ξ））m（ξ）dξmU（ξ，m，t）（x）dξ。（2.8）因此，在有效的连续差异下，使用mU（ξ，m，t）（x）=mU（x，m，t）（ξ）=V（m，t）m（x，ξ），（2.9）我们得到了主方程-Ut+AU+^RnmU（x，m，t）（ξ）（A）*m（ξ）+div（G（ξ，m，DU（ξ））m（ξ））dξ=H（x，m，DU（x））+^RnmH（ξ，m，DU（ξ））（x）m（ξ）dξ，U（x，m，T）=h（x，m）+^Rnmh（ξ，m）（x）m（ξ）dξ。（2.10）与最优反馈控制相对应的概率密度如下所示：m级t+A*m+div（G（x，m，DU）m（x））=0，m（x，0）=m（x）。M.Lauriere和O.Pironnau[7]也独立地得出了该方程，定义了u（x，t）=u（x，M（t），t），然后我们从（2.10）中清楚地得出-ut+Au=H（x，m，Du（x））+^RnmH（ξ，m，Du（ξ））（x）m（ξ）dξ，u（x，T）=h（x，m）+^Rnmh（ξ，m）（x）m（ξ）dξ；（2.11）与FP方程m级t+A*m+div（G（x，m，Du）m（x））=0，m（x，0）=m（x）；（2.12）形成经典平均场型控制问题的耦合HJB-FP方程组，见【1】。2.2. 平均场对策在平均场对策中，我们不能有一个类似于（2.6）、（3.11）的Bellman方程，因为这个问题不仅仅是一个控制问题。然而，如果我们在（1.3）、（1.4）中首次固定参数m（·），我们就有一个标准控制问题。我们介绍了相应的状态动态和成本函数dx（s）=g（x（s），m，v（x（s）））ds+σ（x（s））dw，x（t）=x；（2.13）Jx，t（v（·），m（·））=E^Ttf（x（s），m（s），v（x（s）））ds+h（x（T），m（T））. （2.14）如果我们设置u（x，t）=infv（·）Jx，t（v（·），m（·）），其中我们忽略了在m中明确写出u的依赖关系。

然后u（x，t）满足Bellman方程-ut+Au=H（x，m，Du（x）），u（x，t）=H（x，m）。（2.15）对于平均场博弈，我们接下来要求m必须是最优状态的概率密度，因此m级t+A*m+div（G（x，m，Du）m（x））=0，m（x，0）=m（x）；（2.16）这是HJB-FP方程的系统，对应于经典的平均场对策问题。如果考虑主方程，我们可以检查一下-Ut+AU+^RnmU（x，m，t）（ξ）（A）*m（ξ）+div（G（ξ，m，DU（ξ））m（ξ））dξ=H（x，m，DU（x）），U（x，m，T）=H（x，m）；（2.17）thenu（x，t）=U（x，m（t），t）。（2.18）结合（2.17）和（2.16），我们很容易得到（2.15），因此如果问题是适定的，则得到（2.18）。随机平均场类型控制3.1。初步情况如果我们看平均场类型控制问题的公式（2.1），（2.2），这是一个确定性问题，尽管在起源时它是一个随机性问题，请参见（1.1），（1.2）。我们现在考虑（2.1）、（2.2）的随机版本或（1.1）、（1.2）的双重随机版本。让我们从这个开始。假设存在第二个标准维纳过程b（t），其值为Rn；b（t）和w（t）是独立的，它们也依赖于x。我们设置Bt=σ（b（s）：s≤ t） Ft=σ（x，b（s），w（s）：s≤ t） 。此时的控制v（x，t）是反馈，但不是确定性的，即v的函数形式是Btadapted。我们考虑随机的McKean-Vlasov方程dx=g（x，mv（·）（t），v（x，t））dt+σ（x）dw+βdb（t），x（0）=x，（3.1），其中mv（·）（t）表示x（t）的条件概率密度，给定σ-代数Bt。随机平均场型控制问题旨在最小化目标函数j（v（·））=E^Tf（x（t），mv（·）（t），v（x（t），t））dt+h（x（t），mv（·）（t））. (3.2)3.2.

条件概率t y（t）=x（t）- βb（t），则过程y（t）满足方程dy=g（y（t）+βb（t），mv（·）（t），v（y（t）+βb（t），t））dt+σ（y（t）+βb（t））dw，y（0）=x.（3.3），如果我们x b（s），s≤ 考虑到w（t）和b（t）的独立性，y（t）的条件概率就是维纳过程w（t）产生的概率密度。它是函数p（y，t）的解pt型-Xij（ai，j（y+βb（t））p易yj）+部门g（y+βb（t），mv（·）（t），v（y+βb（t），t））p= 0p（y，0）=m（y）（3.4）给定Btis mv（·）（x，t）=p（x）的x（t）的条件概率密度- βb（t），t），因此tmv（·）=(pt+βp） （十）- βb（t），t）dt- βDp（x- βb（t），t）db（t）。因此，我们有tmv（·）+（A*毫伏（·）-βmv（·）+div（g（x，mv（·）（t），v（x，t））mv（·）））dt+βDmv（·）db（t）=0，mv（·）（x，0）=m（x）；（3.5）和目标函数（3.2）可以写成asJ（v（·））=E^T^Rnf（x，mv（·）（T），v（x，T））mv（·）（x，T）dxdt+^Rnh（x，mv（·）（T））mv（·）（x，T）dx. （3.6）该问题成为分布值参数系统的随机控制问题。再次使用变量嵌入，我们考虑了由m，t索引的问题族smv（·）+（A*毫伏（·）-βmv（·）+div（g（x，mv（·）（s），v（x，s））mv（·）））ds+βDmv（·）db（s）=0，mv（·）（x，t）=m（x），（3.7）和jm，t（v（·））=E^Tt^Rnf（x，mv（·）（s），v（x，s））mv（·）（x，s）dxdt+^Rnh（x，mv（·）（T））mv（·）（x，T）dx. （3.8）SetV（m，t）=infv（·）Jm，t（v（·）），则v（m，t）满足动态规划方程五、t型-^RnV（m，t）m（ξ）（A）*m（ξ）-βm（ξ））dξ+β^Rn^RnV（m，t）m（ξ，η）Dm（ξ）Dm（η）dξdη+infv^Rnf（ξ，m，v（ξ））m（ξ）dξ-^RnV（m，t）m（ξ）div（g（ξ，m，v（ξ））m（ξ））dξ= 0，V（m，T）=^Rnh（x，m）m（x）dx。(3.9)3.3.

主方程为了获得主方程，我们再次定义U（x，m，t）=V（m，t）m（x），我们有终端条件u（x，m，T）=h（x，m）+Rnh（ξ，m）m（x）m（ξ）dξ，（3.10）并从（3.9）中得到五、t型-^Rn（AU-βU） （ξ，m，t）m（ξ）dξ+β^Rn^RnU（ξ，m，t）m（η）Dm（ξ）Dm（η）dξdη+^RnH（ξ，m，DU）m（ξ）dξ=0。（3.11）然后，我们将（3.11）与m进行微分，以获得主方程。我们注意到m级^Rn^RnU（ξ，m，t）m（η）Dm（ξ）Dm（η）dξdη（x） =^Rn^RnU（x，m，t）m（ξ，η）Dm（ξ）Dm（η）dξdη- 2div^RnU（x，m，t）m（η）Dm（η）dη,和m级^RnH（ξ，m，DU）m（ξ）dx（x） =H（x，m，DU（x））+^RnmH（ξ，m，DU（ξ））（x）m（ξ）dξ+^Rnm（DU（ξ，m，t））（x）G（ξ，m，DU（ξ））（ξ）dξ。接下来，在当前设置中使用（2.9），我们得到了m（DU（ξ，m，t））（x）G（ξ，m，DU（ξ））（ξ）dξ=^RnDξ(mU（ξ，m，t）（x））G（ξ，m，DU（ξ））m（ξ）dξ=-^RnmU（ξ，m，t）（x）d iv（G（ξ，m，DU（ξ）），m（ξ）），dξ=-^RnmU（x，m，t）（ξ）dⅣ（G（ξ，m，DU（ξ））m（ξ））dξ。收集结果，我们得到主方程-Ut+AU-βU+^RnmU（x，m，t）（ξ）A.*m（ξ）-βm（ξ）+div（G（ξ，m，DU（ξ））m（ξ））dξ-β^Rn^RnU（x，m，t）m（ξ，η）Dm（ξ）Dm（η）dξdη+βdiv^RnU（x，m，t）m（ξ）Dm（ξ）dξ= H（x，m，DU（x））+^RnmH（ξ，m，DU（ξ））（x）m（ξ）dξ；U（x，m，T）=h（x，m）+Rnh（ξ，m）m（x）m（ξ）dξ。（3.12）我们注意到，当β=0.3.4时，该方程为（2.10）。HJB-FP方程组首先检查我们是否可以从主方程导出耦合随机HJB-FP方程组。

考虑与最优反馈^v（x，m，DU（x，m，t））相对应的条件概率密度过程，这是tm+（A*m级-βm+div（G（x，m，DU）m）dt+βD m.db（t）=0m（x，0）=m（x）。（3.13）集u（x，t）=u（x，m（t），t），我们得到-tu+（Au-βu） dt+βdiv^RnU（x，m，t）m（ξ）Dm（ξ）dξdt公司=H（x，m，Du（x））+^RnmH（ξ，m，Du（ξ））（x）m（ξ）dξdt+β^RnU（x，m，t）m（ξ）Dm（ξ）dξdb（t）u（x，t）=h（x，m）+^Rnh（ξ，m）m（x）m（ξ）dξ。（3.14）LetB（x，t）=^RnU（x，m，t）m（ξ）Dm（ξ）dξ，（3.15）我们可以将（3.13），（3.14）重写如下，通过注意u的I^o校正项，它涉及u w对m的二阶导数，-tu+（Au-βu） dt+βdivB（x，t）dt=H（x，m，Du（x））+^RnmH（ξ，m，Du（ξ））（x）m（ξ）dξdt+βB（x，t）db（t）u（x，t）=h（x，m）+^Rnh（ξ，m）m（x）m（ξ）dξ。tm+（A*m级-βm+d iv（G（x，m，Du）m））dt+βDmdb（t）=0m（x，0）=m（x）。（3.16）由于u的方程是一个后向随机偏微分方程（BSPDE），因此解由一对（u（x，t），B（x，t））表示，该对适用于过滤Bt.3.5。通过变量演算获得随机HJB-FP方程系统在本节中，我们将检查系统（3.16）是否也可以通过变量演算技术获得，而无需参考主方程。这类似于确定性情况下的方法，请参见【1】。我们回到公式（3.5），（3.6）。设^v（x，t）为最佳反馈（这是一个适应Bt的随机场）。