投资组合质量的界限

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英文标题：
《Bounds on Portfolio Quality》
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作者：
Steven E. Pav
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The signal-noise ratio of a portfolio of p assets, its expected return divided by its risk, is couched as an estimation problem on the sphere. When the portfolio is built using noisy data, the expected value of the signal-noise ratio is bounded from above via a Cramer-Rao bound, for the case of Gaussian returns. The bound holds for `biased\' estimators, thus there appears to be no bias-variance tradeoff for the problem of maximizing the signal-noise ratio. An approximate distribution of the signal-noise ratio for the Markowitz portfolio is given, and shown to be fairly accurate via Monte Carlo simulations, for Gaussian returns as well as more exotic returns distributions. These findings imply that if the maximal population signal-noise ratio grows slower than the universe size to the 1/4 power, there may be no diversification benefit, rather expected signal-noise ratio can decrease with additional assets. As a practical matter, this may explain why the Markowitz portfolio is typically applied to small asset universes. Finally, the theorem is expanded to cover more general models of returns and trading schemes, including the conditional expectation case where mean returns are linear in some observable features, subspace constraints (i.e., dimensionality reduction), and hedging constraints.
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中文摘要：
将p资产组合的信噪比（预期收益除以风险）表述为一个球面上的估计问题。当使用含噪数据构建投资组合时，对于高斯回报的情况，信噪比的期望值通过Cramer-Rao界从上而下。“有偏”估计量的界成立，因此，对于最大化信噪比的问题，似乎没有偏差-方差权衡。给出了马科维茨投资组合信噪比的近似分布，并通过蒙特卡罗模拟表明，对于高斯收益以及更奇异的收益分布，该分布相当准确。这些发现意味着，如果最大总体信噪比的增长速度慢于宇宙大小的1/4次方，则可能没有多样化的好处，相反，随着资产的增加，预期的信噪比会降低。作为一个实际问题，这可以解释为什么马科维茨投资组合通常适用于小型资产领域。最后，该定理被扩展到涵盖更一般的回报和交易方案模型，包括条件期望情况，其中平均回报在一些可观察特征中是线性的，子空间约束（即维数减少）和对冲约束。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：投资组合 distribution Quantitative Optimization Constraints

投资组合质量界限Steven E.Pav*2018年8月28日摘要p资产组合的信噪比，其预期收益除以风险，被表述为sphere Sp上的一个估计问题-当使用噪声数据构建投资组合时，对于高斯回报的情况，信号噪声比的期望值通过Cram'er-Rao界从上而下。“有偏”估计量的界成立，因此对于最大化信噪比的问题，似乎没有偏差-方差权衡。给出了马科维茨投资组合信号噪声的近似分布，并通过蒙特卡罗模拟表明，对于高斯收益以及更多的exoticreturns分布，该分布是相当准确的。这些发现意味着，如果最大总体信噪比的增长速度慢于宇宙大小对功率的增长速度，则可能不会产生多元化效益，相反，预期的信噪比会随着额外资产的增加而降低。作为一个实际问题，这可能解释了为什么马科维茨投资组合通常适用于小型资产组合。最后，该定理被扩展到涵盖更一般的回报和交易方案模型，包括条件期望情况，其中平均回报在一些可观察特征、子空间约束（即维数减少）和对冲约束中是线性的。1简介给定p资产的预期收益u和收益协方差∑，投资组合定义为ν*=df∑-1u，（1）非正式地称为“马科维茨投资组合”，在投资组合理论中起着核心作用。[20，3]按比例扩展，它解决了经典的均值方差优化，以及（总体）夏普比率最大化问题：maxνν>u√ν>Σν. （2） 在实践中，马科维茨投资组合的声誉受损，而且很少（如果有的话）在没有任何修改的情况下使用。

未知的人口参数u和∑必须根据样本进行估计，从而产生价值可疑的可行投资组合。Michaud甚至将均值-方差优化称为“误差最大化”[23]取而代之的是，提出了许多投资组合构建方法来取代马科维茨投资组合，其中一些*spav@alumni.cmu.edu作者感谢罗摩克里希纳·卡卡拉分享他的研究成果。根据patching推测的理论缺陷，其他人则依赖简单的神经理论。[7、30、3]实践人员通常采用降维启发式方法来缓解估计错误，从而有效减少投资组合优化问题中的自由变量数量。这种策略的一个版本将数十种甚至数百种股票的回报描述为少数“因子”回报（加上一些“特殊”术语）的线性组合；然后将投资组合问题归结为对要素投资组合的优化。如果人口参数是确定的，缩小可行投资组合集只会降低最优投资组合效用。然而，总体参数通常只能进行弱估计，降维是常见的做法。在本文中，一个上界建立在可行投资组合信噪比的期望值上，定义为投资组合的预期收益除以其风险，收益和风险使用（未知）总体参数测量，以及“期望值”接管用于估计投资组合的样本实现。该界限平衡了“效应大小，\'pnu>∑”-1u，资产数量为p，并且只是某种形式的维度缩减。

例如，可以确定，如果通过向投资领域添加额外资产，pu>∑-1u以低于p1/4的速率增长，预期信噪比的上限可以降低。2投资组合信噪比T x是p资产的相对收益向量，期望值u和协方差∑。这些资产的投资组合预期回报率大于u，方差大于∑ν。将投资组合的信噪比定义为收益率的信噪比：q（^ν）=df^ν>up^ν>∑ν（3）。可以将信噪比视为投资组合的一种“质量”指标，如下所示：未来收益率的夏普比统计在所定义的信噪比中是“随机单调的”，即如果q（^ν）≤ q（^ν）然后^ν>x（一阶）的夏普比随机决定了^ν>x的夏普比。请注意，投资组合信噪比受总体Markowitz投资组合所实现的信噪比的限制，ν*:|q（^ν）|≤ ζ*=dfpu>∑-1u=q（ν*) = qΣ-1u. （4） 通过引入风险变换，我们可以在“风险空间”中几何地解释投资组合信噪比：q（^ν）=^ν>∑∑-1up^ν>∑ν=Σ>/2^ν>Σ>/2ν*qΣ>/2^ν>Σ>/2^ν. （5） 现在通过q（^ν）可以取的最大绝对值进行归一化：q（^ν）ζ*=Σ>/2^ν>Σ>/2ν*qΣ>/2^ν>Σ>/2^νqΣ>/2ν*>Σ>/2ν*,=∑>/2^νqΣ>/2^ν>Σ>/2^ν>Σ>/2ν*qΣ>/2ν*>Σ>/2ν*,= fS公司Σ>/2^ν>fS公司Σ>/2ν*,式中，Fs（x）=dfx√x> x（6）是将非零向量x投影到单位球体的投影操作符。即q（^ν）/ζ*可以视为单位球面上两个向量的点积（假设^ν和ν*是非零向量），即fSΣ>/2^ν和fSΣ>/2ν*. 设θ为fS之间的角度Σ>/2^ν和fSΣ>/2ν*,因此q（^ν）=ζ*cosθ。实际上，投资组合^ν是使用随机变量x的NI.i.d.观测值构建的。

用n×p矩阵X表示这些观测值，并且通过滥用旋转，将给定X的^ν（X）表示为给定X的^ν的估计量。用相同的符号写出θ（X）。我们将限制^ν（X）的期望值。为了求助于Cram'er-Rao界，通常必须假设估计量是无偏的。对于这个问题，需要一个较弱的条件。假设2.1（方向独立性）。假设EHFS∑>/2^ν（X）i=cnζ*fS公司Σ>/2ν*+ bn（u，∑），（7），其中bn（u，∑）是“偏差”项，与fS正交Σ>/2ν*, and可以是u和∑的任意函数。注意，通过bn（u，∑）和fS的正交性Σ>/2ν*, 期望值的线性，E[cosθ（X）]=Eq（^ν）ζ*= EfS公司∑>/2^ν（X）>fS公司Σ>/2ν*= 中国大陆ζ*. （8） 因此| cn（x）|≤ 1，我们期望cn（x）≥ 0表示“理智”投资组合估值器。此外，我们期望cn（x）→ 0作为nx→ 0，对于非零x，cn（x）→ 1 asn→ ∞.当bn（u，∑）是零向量时，估计量是Watson术语中的“平行估计量”，或者是Hendricks意义上的“无偏”。[12，11]注意，方程7对于任何方向等变投资组合估值器都是满足的，即对于任何正交H，（H>H=Ip=HH>），一个具有XH>= H^ν（X）。然而，我们应该认识到，并非所有的投资组合估值器都满足这一假设。例如，考虑一个估计量，它的集中度永远不会大于p-其在任何一项资产中的总配置比例；该估计量不具有方向独立性，因为当ν*= ζ*e、 “一对N分配”估计器也没有。[7] 我们必须排除其他“病理”病例。假设2.2（剩余独立性）。

假设剩余物的分布∑>/2^ν（X）- EhfS∑>/2^ν（X）iis独立于∑>/2ν*.这种假设可以防止我们对1/N分配做出错误的断言，例如，在1/N分配几乎等于ν的情况下*. [7] 设y为p-变量随机变量。Thentr（Var（y））=trEh（y- E[y]（y- E[y]>i,= tr公司Eyy>- tr公司E[y]E[y]>,= Ey> y型- E[y]>E[y]。（9） 通过方程7，并使用bn（u，∑）和fS的正交性Σ>/2ν*, 我们现在有风险值fS公司∑>/2^ν（X）= 1.-中国大陆ζ*+ b> n（u，∑）bn（u，∑）≤ 1.- 中国大陆ζ*, （10） 我们将约束fS的方差∑>/2^ν（X）通过Cram'er Rao下界，从而在cn上建立上界ζ*.定义η=df∑>/2ν*= Σ-1/2u. （11） 请注意，η>η=u>∑-1u = ζ*. 使用方程式10左侧的Cram'er-Rao下界，然后使用期望中η的定义，我们得到了[24]ntrDI公司-1ηD>≤ 1.- 中国大陆η>η, （12） 其中D=dfdcnη>ηη√η> ηdη。（13） 这里我们采用导数来遵循“分子布局”惯例，这意味着梯度是一个行向量。此导数的形式为d=cnη>ηpη>ηη>+cnη>ηIpη>η-ηη>η>η!. （14） 为了计算Fisher信息Iη，我们必须计算回报的可能性x。虽然正态分布对资产回报率来说是一个很差的函数[6]，但它是一个便于处理的分布。假设2.3（正常回报）。假设x是多元正态分布，x~ N（u，∑）。对于多元正态收益率，以∑为条件，对数似然性取形式log f（η| x）=c-（十）- u)>Σ-1（x- u），=c（x）+η>∑-1/2倍-η> η，（15）从似然函数中删除“干扰参数”。FisherInformation为负，即Hessian对η的对数可能性的期望。在这种情况下，我们有simplyIη=-E对数f（η| x）ηη>= Ip。

（16） 这从根本上简化了阐述，因为方程式12的Cram'er-Rao界现在可以表示为NTRDD>≤ 1.- 中国大陆η>η. （17） 使用方程式14中给出的D形式，并注意到交叉项是正交的，我们得到了DD>= tr公司中国大陆η>ηηη>+cnη>η“Iη>η-ηη>(η>η)#!,=中国大陆η>ηη> η+cnη>ηp- 1η>η，（18）使用tryy>= y> y.对于等式17，这给出中国大陆η>ηη> η+cnη>ηp- 1η>η≤ n1.- 中国大陆η>η. （19） 术语中国大陆η>ηη> η是非负的，所以我们可以舍弃它，得到一个不涉及cn:cn导数的粗基η>ηp- 1η>η≤ n1.- 中国大陆η>η. （20） 这个yieldscnη>η≤nη>ηp- 1+nη>η，（21）证明以下定理。定理2.4。设^ν（X）是基于多变量高斯收益X的n i.i.d.观测值的估计量，满足方向独立性和剩余独立性的假设。ThenE[q（^ν（X））]≤√nζ*聚丙烯- 1+nζ*. （22）定理2.4平衡了估计器的“自由度”，p-1，其中一个因方向问题而丢失，以及“可观察效应大小”，nζ*.效果大小是一个无单位的量。如果ζ*以交易日计量，则n应为交易日数；如果ζ*以“年化”计算，则n应为年数。这个界限相当苛刻。考虑一个典型的主动管理投资组合。慷慨地说，我们可以估计ζ*= 1年-1/2以上p=10资产，使用n=5年的历史数据。那么q（^ν（X））的期望值以0.6yr为界-1/2;那么，同比亏损的事件就是“0.6西格玛”事件。定理2.4表明，对于比较投资而言，夏普比率平方的大小是一个限制因素，而不是夏普比率本身（假设为正）。

也就是说，在定理的界下，ζ*= 2年-1/2是ζ“好”的四倍*= 1年-1/2，从这个意义上讲，这种影响的大小可以“平衡”四倍的自由度。3马科维茨组合信号噪声的近似分布在我们建立数量q（^ν）/ζ的近似分布之前*= 样本马科维茨投资组合的cosθ，^ν*=df^∑-1μu，其中∑，μu通常样本估计值为∑和u。近似值是通过假设∑的错误估计不会对投资组合造成误差来构建的。假设∑=∑，则∑>/2∑ν*= Σ-1/2^u = Σ-1/2u +√nz，（23），其中z~ N（0，I）。然后，用q（^ν（X））/ζ*= cos（θ（X）），我们应该有cot（θ（X））=Σ-1/2u+√nzqnP2≤我≤pzi，（24），其中zi是独立的标准正态随机变量。这可以用astan表示Arcin公司q（^ν（X））ζ*~√p- 1吨√nζ*, p- 1., （25）式中，t（δ，ν）是具有非中心性参数δ和ν自由度的非中心t分布。近似值25表示以下近似值：q（^ν（X））~ ζ*Bnζ*,,p- 1., （26）其中，B（δ，p，q）是一个非中心β分布，具有非中心性δ和“形状”参数p和q。[31]然而，通过描述q（^ν（X））的平方分布，我们无法轻松地建模其为负的概率（有时显著）。然而，由于非中心β的动量是已知的，这种形式确实给出了近似值25下q（^ν（X））方差的界。[31，第30.3节]在近似值25下，wehaveEq（^ν（X））= ζ*e-nζ*ΓΓΓpΓp+2Fp2+p；nζ*, （27）其中f（·，·；·，·；·；·）是广义超几何函数。

[26，第16.2节]这是q（^ν（X））方差的粗略上界；利用定理2.4中的中值上界可以得到一个下界。由于非中心t分布的中值与非中心性参数近似相等，[14，16]通过近似值25，样本马科维茨投资组合的q（^ν（X））的中值近似为ym≈ ζ*罪阿尔茨坦√nζ*√p- 1.=√nζ*聚丙烯- 1+nζ*, （28）这正是定理2.4的上界！3.1蒙特卡罗模拟通过蒙特卡罗模拟检查近似值25的准确性：10使用n=1012（4年每日观察），p=6和ζ，对马科维茨投资组合的构建进行模拟*= 1.25年-1/2; 这些回报是正态分布的。由于人口马科维茨组合是已知的，因此可以精确地计算组合的信噪比。图1中的Q-Q图证实，近似值25非常适合N、p、ζ的选择*.Kolmogorov-Smirnov检验不是依赖于“图形证明”，而是针对高斯回报下产生的信噪比值进行计算。【21】在10次模拟中，统计数据，即在近似条件下经验CDF和理论CDF之间的最大差异，计算为0.004。虽然这看起来很小，但由于样本量太大，因此计算出的p值在null下会变为0。然后使用从均匀分布、具有4个自由度的t分布、参数h=0.15的Tukey h分布和参数γ=-0.2. [8，9]收益是通过首先从零均值、同一协方差分布中生成i.i.d.p变量图生成的，该分布的边缘遵循上述命名的规律，然后缩放和移动以获得适当的ζ*.

对于每个公式，∑是从Wishart随机变量中随机抽取的。均匀分布不是一个现实的市场回报模型，但它被用于检验platykurtic回报的近似值。t和更奇异的分布是更现实的市场回报模型，并且是轻量级的。Lambert W具有非零倾斜。同样，在这些分布中的每个分布下，用相同的n、p、ζ值进行10次模拟*A以上。表1显示了这些模拟中的一些经验分位数，以及近似值25中的近似分位数。不同分布的Kolmogorov-Smirnov检验统计数据如表2所示。