关于双参数Poisson-Dirichlet的金融应用

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英文标题：
《On financial applications of the two-parameter Poisson-Dirichlet
  distribution》
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作者：
Sergey Sosnovskiy
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Capital distribution curve is defined as log-log plot of normalized stock capitalizations ranked in descending order. The curve displays remarkable stability over periods of time.   Theory of exchangeable distributions on set partitions, developed for purposes of mathematical genetics and recently applied in non-parametric Bayesian statistics, provides probabilistic-combinatorial approach for analysis and modeling of the capital distribution curve. Framework of the two-parameter Poisson-Dirichlet distribution contains rich set of methods and tools, including infinite-dimensional diffusion process.   The purpose of this note is to introduce framework of exchangeable distributions on partitions in the financial context. In particular, it is shown that averaged samples from the Poisson-Dirichlet distribution provide approximation to the capital distribution curves in equity markets. This suggests that the two-parameter model can be employed for modelling evolution of market weights and prices fluctuating in stochastic equilibrium.
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中文摘要：
资本分布曲线定义为按降序排列的规范化股票资本化的对数-对数图。曲线在一段时间内表现出显著的稳定性。集合分割上的可交换分布理论是为数学遗传学的目的而发展起来的，最近应用于非参数贝叶斯统计，为资本分布曲线的分析和建模提供了概率组合方法。双参数Poisson-Dirichlet分布的框架包含了丰富的方法和工具，包括无限维扩散过程。本说明的目的是介绍金融环境下分区上可交换分配的框架。特别是，泊松-狄利克雷分布的平均样本提供了股票市场中资本分布曲线的近似值。这表明，双参数模型可用于建模随机均衡中市场权重和价格波动的演变。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Dirichlet poisson 金融应用 Rich let

关于双参数Poisson-Dirichlet分布的金融应用研究注Sergey Sosnovskiyssnv。sky@gmail.comJuly2015年7月抽象资本分布曲线定义为按下降顺序排列的标准化股票资本化的对数-对数图。曲线在一段时间内表现出显著的稳定性。集合分割上的可交换分布理论是为数学遗传学的目的而发展起来的，最近被应用于非参数贝叶斯统计，它为资本分布曲线的分析和建模提供了概率组合方法。双参数Poisson-Dirichlet分布的框架包含了丰富的方法和工具，包括有限维扩散过程。本说明旨在介绍金融环境下分区可交换分配的框架。特别是，研究表明，泊松-狄利克雷分布的平均样本为股票市场中的资本分布曲线提供了近似。这表明，双参数模型可用于建模市场权重和价格在随机均衡中的演变。1简介资本分布曲线定义为股票市场权重的对数-对数图，按降序排列。该曲线形状的时间稳定性是由Fernholz、Karatzas等人开发的随机投资组合理论（SPT）的基石之一。（[9]、[11]、[10]）。与基于规范性假设的MPT和CAPM不同，随机投资组合理论是一种描述性理论，因为它研究股票市场的经验动力学和特征。特别是，SPT捕捉到了股票保持其排名的趋势。

SPT模型采用秩相互作用的布朗粒子和半鞅机制。从数学遗传学引入的分割结构框架，包括组合和概率方法，为资本分配曲线的建模和分析提供了补充方法，可总结如下：市场被认为是一个大型的组合结构——投资货币单位集合的划分。单个股票的资本化与分区的块或簇大小相对应，以整数表示，例如，以美分为单位。o集合分区的数量定义了组合实现每个分区的方式。换言之，市场可以表示为一个巨大的年轻图表，其资本化向量决定（可能非常大）实现此类市场配置的方式。分区结构之所以重要，有几个原因。o首先，分区结构提供了一个具有动态维度的随机转换模型。换言之，在任何时候，由于新股票的出现或现有公司的破产，分散组件的数量可能会发生变化其次，具有非平凡极限分布的划分结构定义了相应组合结构的渐近形状。特别是，形状形成机制为资本分配曲线的稳定性现象提供了解释。双参数Poisson-Dirichlet模型是一个引人注目的、研究得很好的分区结构实例。它具有在排序权重单纯形中定义的分析可处理的极限分布。泊松-狄利克雷分布。具有m维参数向量（α，…，αm）的Dirichlet分布定义了标准单纯形中非负比例的概率。

Kingman[18]考虑了用对称参数向量（α，…，α）限制这种分布的行为，使得θ=mα=常数m→ ∞ 并将排序分量的分布称为泊松-狄利克雷（PD）分布（具有一个参数θ）。这种分布在排名权重的有限单纯形中定义，称为Kingman单纯形 =x> x>。。。xi>0，Pxi=1}尺寸偏差排列提供了一种从Dirichlet和Poisson-Dirichlet分布中采样的有效方法。在种群生物学的框架内，Engen[5]建议修改尺寸偏差法，这产生了另一类泊松-狄利克雷分布。Perman、Pitman和Yor将其称为双参数PoissonDirichlet分布，他们在研究gamma和稳定从属函数的rankedjump时重新发现了该分布（见[22]、[26]）。Pitman的专著【25】包含了关于双参数Poisson-Dirichlet模型的丰富信息。如Chatterjee和Pal[4]所示，布朗粒子秩相互作用系统的极限行为以PD（α，0）分布为特征。青木开创了可交换分布在经济学中的应用（[1]、[2]），特别是利用加里波第、科斯坦蒂尼等人的单位特征（[13]，另见第16卷）。具有分区空间转换的马尔可夫链方法由加里波第、科斯坦蒂尼等人独立开发【13】，【14】。Petrov【23】受Kerov、Fulman【12】的启发，Borodin和Olshanski【3】构建了一个在有限维排序单纯形中保持双参数泊松-狄利克雷分布的扩散过程。本研究报告旨在说明划分结构和双参数模型在资本分配曲线随机演化建模中的应用。

特别是，第5节表明，双参数模型提供了股票市场资本分布曲线的合理近似值。此外，该模型还为证券交易所相对总资本的分布提供了数据。本文的主要结果发表在2014年第八届单身金融学会世界大会上。作者非常感谢I.Karatzas教授提出的有益建议。1.1资本分布曲线排名市场权重的对数图显示o幂律行为，o曲线凹度和o时间段稳定性。例如，下图显示了2014年三个日期纳斯达克市场的资本分布曲线。从图表中可以看出，尽管纳斯达克市值在这段时间内发生了重大变化，但大多数市场权重的波动相对较小。资本分配曲线的稳定性表明市场权重和总市值具有一定的独立性。10 1000.000%0.000%0.001%0.010%0.100%1.000%10.000%1 10 100 1000 1000027-5月24日-Sep9-Dec图1：纳斯达克，2014年5月27日、9月24日、12月9日的资本分布曲线更详细的图表揭示了前100名股票的权重行为。8.000%10.000%0.000%0.000%0.001%27-5月24日-9月9日-12月0.10%1.00%10.00%1 10 10027-5月24日-9月9日-12月图2：前100只股票的权重、NASDAQ在大多数股票市场上的资本分布曲线以及世界证券交易所的资本化分布，其形状与图1所示的形状相似。

第5节包含PD模型对这些曲线拟合的示例。数据源为http://www.google.com/finance#stockscreener1.2Poisson-Dirichlet分布和市场权重Poisson-Dirichlet定律排名样本的对数图具有o幂律行为、o曲线凹度和o平均形状周围的稳定性有限维Poisson-Dirichlet分布概括了对称的有限维Dirichlet分布。此外，如第1.4节所示，这两种分布都可以用随机变量序列（y，y，…）的归一化表示通过其总和S=Pyj（y/S，y/S，…）具有权重和总和的独立性。下图通过两个参数分布样本的平均值说明了纳斯达克市场权重的fit。参数估计采用最小二乘法。1e+0 1e+1 1e+2 1e+3 1e+41e-71e-61e-51e-41e-31e-21e-1rankweightNASDAQFigure 3:NASDAQ fit by PD（0.60，55），（截至2014年12月9日的数据）下一幅图显示了排序随机权重的典型行为1e+0 1e+1 1e+2 1e+3 1e+41e-71e-61e-51e-41e-31e-21e-11e+0 rankweightsamples图4:PD（0.60，55）1.3排序资本化和市场权重的20个样本路径t时的股票资本化计算为流通股和股票价格的乘积cn（t）=qn（t）·Pn（t）如C（1）（t）>C（2）（t）>。相应的排名市场权重由x（n）（t）=C（n）（t）M（t）确定，其中M（t）=PCn（t）是t时的总市值。资本分配曲线的稳定性意味着x（i）（t）≈ Ex（i）（t+t） 换言之，尽管资本化发生了变化，排名权重仍保持大致相同。

这意味着，在相对较短的时间内，当股票保持其PricingA的秩数近似保持sp（n）（t）M（t）≈ EP（n）（t+t） M（t+t） 但是，应该注意的是，时间越长t、 股票保持排名的可能性越小。更先进的市场权重和股票资本化建模方法基于差分理论的应用和PD（α，θ）分布在下级跳跃方面的表示。在著名的皮特曼和约尔的论文中，这一代表性被称为21号命题。1.4 Gamma-Dirichlet代数Gamma和Dirichlet分布之间关系密切，以重要属性的数量为特征，在对称情况下可以总结如下。让我们考虑m个独立且独立分布的gamma变量yi~ G（α，c），形状为α，尺度为c。第一种卷积性质表明，这些变量的和S=Pyialso具有γ分布S~ G（θ，c），θ=mα。第二个性质表明，归一化分量xi=yi/S独立于和S，此外，正如卢卡奇所示[20]，当且仅当yi为伽马分布且具有相同的标度c时，该表征性质成立。最后，归一化向量x=是/秒。。。，年/秒具有对称Dirichlet分布x~ Dm（α）。相反，对于Dirichlet分布向量x~ Dm（α）和独立γ分布~ G（θ，c）‘恢复’变量yi=xi·S，相应地，具有伽马分布yi~ G（α，c）。显然，这些性质在有序Dirichlet分布的情况下也成立。例如，对于排名组件x（1）>。。。

>由对称Dirichlet分布和独立项得到的x（m）~ G（θ，c），恢复的伽马变量y（m）=x（m）·S也按降序排列。Pitman和Yor[26]中的命题21提供了PD（α，θ）定律的类似特征，可以非正式地重述如下。让我们考虑回火稳定从属函数fty，其L′evy密度ν（y）=αΓ（1-α） y型-α-1e级-阴随机时间间隔[0，T]，带T~ G（θ/α，1），并通过η（1）>η（2）>表示该区间内的排序跳跃。这些跳跃的总和等于在随机时间TS=Pη（i）=fTAs停止的回火从属函数的值。在Dirichlet分布的情况下，【26】中的命题21指出，跳跃的总和S~ G（θ，1）。该命题的第二个陈述是ξ（i）=η（i）/S独立于和S。最后，正规化跳跃序列ξ（1）>ξ（2）>。具有参数（α，θ）的泊松-狄利克雷分布。在接下来的项目中。21提供了一种方便的建模方法，可以从市场权重的动态“恢复”股价的随机演化。1.5 PD市场模型采用第3节和第4节所述的断棒和尺寸偏差抽样方法，形成平稳泊松-狄利克雷分布的模型差异，这是很自然的。首先，Fengand Wang[8]提出了这种方法，他们还证明了相应的有限维过程的可逆性。

让我们回顾一下Wright-Fisher扩散过程Z≡ Z（t）由SDEdZ驱动=α(1 - Z）- αZdt+pZ（1- Z） dBhas可逆平稳β分布Z*~ B（α，α）。如果Xn（0）表示时间t=0时第n大股票的市场权重，则市场权重的随机演化可通过断棒过程x（t）=Z（t），Xn（t）=Zn（t）确定1.-Pn编号-1i=1Xi（t）,其中加工锌≡ 锌（t）由独立的SDEsdZn测定=(1 - α)(1 - 锌）- （θ+αn）Zndt+pZn（1- Zn）具有平稳β分布的DBN，对应于尺寸偏差采样定义（7）Z*n~ B（1-α、 过程Zn（0）的θ+nα初始值由z（0）=X（0），Zn（0）=Xn（0）/（1）确定-Pn编号-1i=1Xi（0））总市值的局部演变M≡ M（t）可以由DiffusionDM建模=θ - 厘米dt公司+√M dBwith stational gamma分布M*~ G（θ，c），其中变量c由条件M（0）=EM定义*.相应地，股票价格的本地行为由独立过程的乘积pn（t）=qnM（t）·Xn（t）定义，其中qn表示流通股数量。7.47.37.27.176.910008006004002000股票资本化0.40.30.20.1010008006004002000股票权重0.060.050.040.030.020.01010008006004002000市场资本化图5：权重模拟，整体市场价值和股票资本化具有平稳的PD（0.60，55）分布1.6断杆模型断杆模型是一个简单的模型，说明了均匀划分如何产生不平等模式。麦克阿瑟（MacArthur）[21]提出了这个模型来解释封闭环境中的相对物种丰度。让我们假设单位长度的木棍代表一些有限的资源，例如领土、可用食物、水库等，这些资源必须在物种之间共享。通过抛出uniformlyn，资源被随机破坏- 在这根棍子上切点，然后把它分成n块。

每一块的长度代表了份额，这是某些种类的物种所占的份额。虽然每个片段的平均长度为1/n，但片段的排序长度显示了有趣的行为。例如，如果木棍被分成两段，那么较小的木棍的长度永远不会超过50%，而且由于切割点是均匀分布的，很容易看出较小的木棍平均代表长度的25%，而较大的木棍则代表长度的75%。通常可以看出，在将木棍分成n块后，第k大块的预期长度由xk=nnXj=kjIn给出，3块的预期比例按降序排列分别为61.1%、27.8%和11.1%。可以通过简单的模拟来检验，在单位区间上均匀下降4个点会平均产生以下5个子区间的排序长度（46%、26%、16%、9%、4%），显然，采样比例将围绕这些预期长度变化。对于较大的n值，预期比例开始迅速衰减，在对数-对数图上显示它们更方便。图6：n=10、25、50的预期比例这个例子说明了在资源完全均匀分布的情况下，排名比例的不对称性。1.7玩具模型让我们想象一下，在资本化为5的市场中，只有两支股票的资本化为3和2。股票代码或名称不起重要作用，仅用于区分股票。左边所示的十个年轻的表格代表了5个货币单位可以通过这些资本化形成一个国家的十种方式1 2 34 51 2 43 51 3 42 52 3 41 2 53 41 23 4 51 3 52 32 4 51 4 52 31 42 3 5由于这些分区具有相同的块大小，因此可以方便地使用右侧所示的Young图来表示具有相同形状的所有分区。