强依赖下的块抽样

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英文标题：
《Block Sampling under Strong Dependence》
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作者：
Ting Zhang, Hwai-Chung Ho, Martin Wendler, Wei Biao Wu
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  The paper considers the block sampling method for long-range dependent processes. Our theory generalizes earlier ones by Hall, Jing and Lahiri (1998) on functionals of Gaussian processes and Nordman and Lahiri (2005) on linear processes. In particular, we allow nonlinear transforms of linear processes. Under suitable conditions on physical dependence measures, we prove the validity of the block sampling method. The problem of estimating the self-similar index is also studied.
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中文摘要：
本文研究了长程相关过程的块抽样方法。我们的理论推广了Hall、Jing和Lahiri（1998）关于高斯过程泛函的早期理论，以及Nordman和Lahiri（2005）关于线性过程的早期理论。特别是，我们允许线性过程的非线性变换。在适当的物理相关测度条件下，我们证明了块抽样方法的有效性。研究了自相似指数的估计问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
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关键词：Multivariate Econophysics Applications Quantitative Statistical

强依赖下的块抽样由Ting Zhang+、Hwai Chung Ho+、Martin Wendler+和Wei Biao Wu+芝加哥大学和中科院统计科学研究所，台北，2018年8月20日摘要本文考虑了长程依赖过程的块抽样方法。我们的理论推广了Hall、Jing和Lahiri（1998）关于高斯过程泛函的早期理论，以及Nordman和Lahiri（2005）关于线性过程的早期理论。特别是，我们允许线性过程的非线性变换。在适当的物理相关测度条件下，我们证明了块抽样方法的有效性。研究了自相似指数的估计问题。1引言长记忆（强相关或长程相关）过程在计量经济学、金融、地质学和电信等领域受到了广泛关注。让Xi，我∈ Z、 是f或mxi的平稳线性过程=∞Xj=0ajεi-j、 （1）式中εi，i∈ Z、 具有零均值、有限方差和（aj）的独立同分布（iid）随机变量∞j=0是平方和实系数。如果ai→ 0非常慢，说ai~ 我-β、 1/2<β<1，则存在一个常数cβ>0，其协方差γi=E（XXi）=E（ε）P∞j=0ajai+j~ cβE（ε）i1-2β是不可求和的，因此显示出强烈的依赖性。一个重要的例子是分形积分jel码：c22关键字：渐近正态性；协方差；线性过程；长期依赖性；罗森布拉特分布；Hermite过程自回归滑动平均（FARIMA）过程（Gr anger和Joyeux，1980年和Hosking，1981年）。

设K为E[K（Xi）]<∞, u=EK（Xi）。本文考虑^un=nnXi=1K（Xi）=Snn+u的渐近抽样分布，其中Sn=nXi=1[K（Xi）- u].在均值u的推断中，如置信区间的构建和假设检验，有必要为部分和过程Sn开发一个大样本理论。拉丁美洲问题有着悠久的历史。在这里，我们只做一个非常简短的描述。Davydov（1970）考虑了特殊情况K（x）=x，Taqqu（19 75），Dobrushinand Major（1979）处理了另一种特殊情况，其中K可以是非线性变换，而（Xi）是高斯过程。Chung（2002）考虑了二次型。其他贡献请参见Surgailis（1982）、Avram和Taqqu（1987）以及Dittmann和Granger（2002），更多参考请参见Wu（2006）。对于具有非线性变换的一般线性过程，在K上的某些正则条件下，如果XI是具有P∞j=0 | aj |<∞, 然后Sn/√满足高斯极限分布的中心极限定理；如果xi是长记忆的（或长距离相关的），则通过适当的归一化，sn可能具有非高斯分布或Ga-ussianlimiting分布，并且归一化常数可能不再是√n（Ho和Hsing，1997和Wu，2006）。在许多情况下，非高斯极限分布可以表示为多重维纳It^o积分（MWI）；见方程式（2）。非高斯WMI的分布函数没有闭合的F r m。这给相关的统计推断带来了相当大的不便。作为一种有用的替代方法，我们可以借助重新抽样技术来估计Sn的抽样分布。K¨unsch（1989）证明了移动块自举方法对弱相依平稳过程的有效性。

然而，Lahiri（1993）表明，对于高斯次长记忆过程，块自举样本均值总是渐近高斯的；因此，它无法恢复乘子it^o积分的非高斯极限分布。另一方面，Hall、Horowitz和Jing（1995）提出了一种抽样窗口方法。Hall，Jing和Lahiri（1998）表明，对于高斯过程的非线性变换的特殊过程，后一种方法在连续块和的经验分布函数通过适当的归一化收敛于SN的极限分布的情况下是有效的。Nordman和Lahiri（2005）证明了同样的方法适用于线性过程，这是一种完全不同的特殊平稳过程。然而，对于线性过程，极限分布总是高斯分布。对于一类更一般的长记忆过程，能否建立极限理论一直是一个悬而未决的问题。在这里，我们将通过允许线性过程的泛函提供上述问题的有效答案，这是一类更一般的平稳过程，其中包括高斯过程的线性过程和非线性变换作为特例。具体而言，假设实现Yi=K（Xi），1≤ 我≤ n、 由于K和xib都可能未知或不可观测，我们考虑对Sn/n的抽样分布进行一致的估计。为此，我们将实施物理依赖性度量的概念（Wu，20 05），该概念通过测量输出如何依赖于输入来量化随机过程的依赖性。论文的其余部分组织如下。第2节给出了主要结果，并讨论了正规化连续块和的经验分布函数的渐近一致性。

有趣的是，同样的SamplingWindow方法适用于高斯和非高斯极限分布。第4节提供了模拟研究，一些证据推迟到附录中。2主要结果在第2.1节中，我们简要回顾了Snin Ho和Hsing（1997）和Wu（2006）的渐近理论。Hall、Horowitz和Jing（1995）的块状抽样方法在第2.2节中描述。对于物理依赖性度量，第2.3节给出了经验抽样分布的一致性结果。在第2.4节中，我们得到了sl=kSlk的方差估计的收敛速度。第2.5节提出了H的一致估计，H是极限过程的自相似参数。对于两个正序列（an）和（bn），写一个~ bnif和bn→ 1和an B如果存在常数C>0，则a/C≤ bn公司≤ 对于所有的大n。设CA（resp.CpA）表示A上的连续函数（resp.functions具有p阶连续导数）的集合 R、 表示为“=>” 弱收敛；关于C[0,1]弱收敛理论的详细解释，见Billingsley（1968）。对于随机变量Z，我们写Z∈ 如果kZkν=（E | Z |ν）1/ν<∞, 并写出kZk=kZk。对于整数i≤ jde fine Fji=（εi，εi+1，…，εj）。写入F∞i=（εi，εi+1，…）和Fj-∞= （…，εj）-1，εj）。定义投影运算符Pj，j∈ Z、 byPj·=E（·| Fj-∞) - E（·| Fj）-1.-∞).然后Pj·，j∈ Z、 产量鞅差。2.1渐近分布为了研究强依赖下的渐近分布，我们将引入幂秩的概念（Ho和Hsing，1997）。基于K和Xn，设Xn，i=P∞j=n-iajεn-j=E（Xn | Fi-∞) 成为尾部流程和定义功能K∞（x） =EK（x+Xn）和Kn（x）=EK（x+Xn- Xn，0）。请注意Xn- Xn，0=Pn-1j=0ajεn-jis独立于Xn，0。用κr=K（r）表示∞（0），r阶导数（如果存在）。

如果p∈ N是这样的，对于所有r=1，…，κp6=0，κr=0，p- 1，那么我们说K对于xi的分布具有幂Rank p。SN的极限分布可以是高斯分布或非高斯分布。此处的非高斯极限分布表示为MWIs。为了定义后者，让simplexSt={（u，…，ur）∈ Rr:-∞ < u<…<ur<t}和{IB（u），u∈ R} 是标准的双边布朗运动。对于1/2<β<1/2+1/（2r），将Hermite过程定义为MWIZr，β（t）=ZStZtrYi=1gβ（v- ui）dv dIB（u）。dIB（ur），（2），其中gβ（x）=x-如果x>0，则为β，如果x，则为gβ（x）=0≤ 如果r≥ 注意，z1，β（t）是作用布朗运动，赫斯特指数H=3/2- β.允许l（n） 是一个缓慢变化的函数，即limn→∞l（联合国）/l（n） =1表示所有u>0（Bingham、Goldie和Teugels，1987）。假设a6=0，且aI的形式为i-βl（i） ，我≥ 1，其中1/2<β<1。（3） 在（3）下，我们说（ai）随指数β有规律地变化。设ai=0如果i<0，我们需要K和过程（Xi）上的以下正则条件。条件1。对于函数f且λ>0，写入f（x；λ）=sup | u|≤λ| f（x+u）|。假设ε∈ L2ν带ν≥ 2，Kn∈ Cp+1r对于所有大n，对于某些λ>0，p+1Xα=0kK（α）n-1（Xn，0；λ）kν+p-1Xα=0kεK（α）n-1（Xn，1）kν+kεk（p）n-1（Xn，1）kν=O（1）。（4） 我们注意到，在条件1中，函数K本身不必是连续的。例如，如果K（x）=1x≤0; 设a=1，Fε（分别为Fε）是εi的分布（分别为密度）函数。然后K（x）=Fε(-x） 如果Fε为so，则为Cp+1r。如果supx | K（1+p）n-1（x）|<∞,然后对于ll 0≤ α ≤ p、 存在一个常数C>0，使得| K（α）n-1（x）|≤ C（1+| x |）1+p-α、 和（4）如果εi成立∈ L2ν（1+p）。定理1。（Wu，2006）假设K具有幂秩p≥ 1关于xindcondition 1，ν=2成立。

（i）i f p（2β-1） <1，设σn，p=nHlp（n）κpkZp，β（1）k，其中H=1-p（β- 然后在空间C[0,1]中，我们有弱收敛{Snt/σn，p，0≤ t型≤ 1} => {Zp，β（t）/kZp，β（1）k，0≤ t型≤ 1}.（ii）如果p（2β- 1） >1，则D：=P∞j=0PYj∈ 五十、 假设kDk>0。我们有{Snt/σn，0≤ t型≤ 1} => {IB（t），0≤ t型≤ 1} ，式中σn=kDk√n、 （6）上述结果不能直接应用于平均u=EK（Xi）的主要统计推断，因为σn、pand和σnar通常未知。此外，二分法定理1在假设检验或构建u的置信区间方面造成了相当大的不便。本文的主要目的是建立一些重新抽样技术的有效性，以便估计SN的分布。2.2块采样一开始，我们假设u=EK（Xi）=0。Hall、Horowitz和Jing（1995）提出的块状抽样法可描述如下。设l为满足l=ln的块大小→ ∞ 和l/n→ 为了表示的简单性，我们假设t，除了Y，Yn，过去的观察Y-l、 ，也可提供。定义=kSlk，经验分布函数fn（x）=nnXi=1Yi+Yi-1+···+彝语-l+1≤xsl。（7） 如果SLI已知，我们说块采样方法是有效的ifsupx∈R | Fn（x）- P（序号/序号≤ x） |→ 概率为0。（8） 在长记忆情况下，上述收敛关系具有更深层次的含义，因为根据定理1，Sn/Sn可以具有高斯或非高斯极限分布。相比之下，对于短内存进程，Sn/Sn通常具有高斯极限。理想情况下，我们希望（8）适用于定理1中的两种情况。那么，我们就不必担心限制分配使用的二分法了。作为本文的主要目标，我们证明了事实确实如此。实际上，u=EK（Xi）和SLA都未知。

我们可以简单地用“Yn=Pni=1Yi/n”来估计前者，用“sl=Qn，ln”来估计后者，其中“Qn，l=nXi=1 | Yi+Yi”-1+···+Yi-l+1- l’Yn |。（9） （7）中Fn（x）的实现版本现在的形式为▄Fn（x）=nnXi=1Yi+Yi-1+···+彝语-l+1-莱恩≤xsl，相应地（8）变为ssupx∈R | Fn（x）- P（Sn/▄Sn≤ x） |→ 概率为0。（10） 在后面的第2.5节中，我们将提出一个一致的snof sn估计值。在第2.3节中，我们将在定理1中说明（8）对这两种情况都适用。这需要（10）如果估计值满足sl/sl→ 1和▄序号/序号→ 概率为1，l（(R)Yn- u）=oP（sl）。利用（10），我们可以构造双面（1- α） -th（0<α<1）和上部单侧（1- α） uas[(R)Yn的置信区间- q1-α/2sn/n，(R)Yn- qα/2sn/n]和[(R)Yn- q1-αИsn/n，∞)其中，qα是Fn（·）的第α个样本分位数。2.3经验抽样分布的一致性let（ε′j）j∈Zbe（εj）j的iid副本∈Z、 因此ε′i，εl，i，l∈ Z、 是iid；莱克斯*i=Xi+Xj=-∞人工智能-j（ε′j- εj）。（11） 如果j<0，则调用aj=0。我们可以查看X*xi与εj，j的耦合过程≤ 0，在后者中，替换为iid副本ε′j，j≤ 注意，如果我≤ 0，两个随机变量X和X*i=P∞j=0ajε′i-jare相互独立。继Wu（20 05）之后，我们定义了物理依赖性度量τi，ν=kK（Xi）- K（X*i） kν，（12）表示过程Yi=k（Xi）如何忘记过去的εj，j≤ 0、定理2。假设u=EYi=0，p≥ 1，l nr对于某些0<r<1，条件1保持不变，ν=2。（i）如果p（2β- 1） <1，然后是SUPX∈R | Fn（x）- P（Zp，β（1）≤ x） |→ 概率为0。（13） （ii）让Z~ N（0，1）为标准高斯分布。

如果p（2β- 1） >1，我们有vesupx∈R | Fn（x）- P（Z≤ x） |→ 概率为0。因此，在（i）或（ii）项下，我们有（8）。作为一个有用且有趣的事实，我们从定理2中强调，Fn（·）一致地估计Sn/Sn的分布，而不管后者的极限分布是否为高斯分布。换言之，Fn（·）自动适应序列号/序列号的极限分布。Bertail、Politis和Ro ma no（1999）对强混合过程得出了类似的结果，其中极限分布可能是非高斯分布；另见Politis、Romano和Wolf（1999年）。证据（定理2）对于（i），请注意，对于经验分布函数的一致收敛，GlivenkoCantelli a r gument（参见Chow和Teicher，199 7）指出Zp，β（1）具有连续分布，（13）如果我们可以证明，对于任何固定x，E | Fn（x）- P（Zp，β（1）≤ x） |=var（Fn（x））+| EFn（x）- P（Zp，β（1）≤ x）|→ 设Bi，l=Yi+Yi-1+ . . . + 易-l+1。自Bi起，l/sl=> Zp，β（1）为n→ ∞, 上面右侧的第二项转换为0。我们现在表明，第一项VaR（Fn（x））≤nn型-1Xi=0 | cov（1B0，长/深≤x、 1Bi，l/sl≤x） |→ 这里我们使用（Bi，l）i∈zi是一个平稳的过程。为了表示（14），我们将应用耦合工具。X的R ecall（11）*i、 让B*i、 l=Pij=i-l+1年*j、 其中Y*j=K（X*j） 。自b起*i、 土地F-∞独立，E（1B*i、 l/sl≤x | F-∞) = P（B*i、 l/sl≤ x） 。因此| cov（1B0，升/升≤x、 1Bi，l/sl≤x） |=| E[1B0，长/深≤x（1Bi，l/sl≤x个- 1B级*i、 l/sl≤x） ]|≤ E | 1Bi，l/sl≤x个- 1B级*i、 l/sl≤x |。（15） 对于任意固定λ>0，通过三角形和马尔可夫不等式，E | 1Bi，l/sl≤x个- 1B级*i、 l/sl≤x |≤ E（1 | Bi，l/sl-x个|≤λ） +E（1 | Bi，l/sl-B*i、 l/sl|≥λ)≤ P（| Bi，升/升）- x |≤ λ） +千磅/升- B*i、 lkλsl。

（16） 自E（Bi，l | F∞) = E（B*i、 l | F∞) 对于i>2l，引理4（ii）和B*i、 l-E（B*i、 l | F∞) 和Bi，l- E（Bi，l | F∞) 分布相同，我们有KBI，l- B*i、 lk公司≤ kBi，l- E（Bi，l | F∞)k+kE（Bi，l | F∞) - B*i、 lk=2kBi，l- E（Bi，l | F∞)k=2kSl- E（Sl | F∞l+1-i） k=slO[升-~n+（l/i）~n]。（17） 在不损失g一般性的情况下，假设φ<1。否则，我们可以将其替换为Д′=min（Д，1/2）。通过引理4（i）和引理1，我们得到了kB0，lk=O（sl）。回想一下l nr，0<r<1，我们有-1Xi=0kBi，l- B*i、 lksl=O（1）n2lXi=0O（1）+O（1）nn-1Xi=2l+1O[l-Д+（l/i）Д]=O（l/n）+O（l-Д）+O[（长/宽）Д]=O（宽）-φ） ，（18），其中φ=min（1-r、 ^1r，（1-r） ^1）。自P（| Bi，l/sl）-x |≤ λ) → P（| Zp，β（1）-x |≤ λ） ，（14）然后从（15）和（16）开始，第一次让n→ ∞, 然后λ→ 对于（ii），通过（i）中的参数，可以显示limn→∞nnXi=1kBi，l- E（Bi，l | F∞)k√l=0。（19） 更具体地说，如果（19）有效，则通过kBi，l-B*i、 lk公司≤ 2kBi，l-E（Bi，l | F∞)k、 我们有（18），因此有（14）。设N>3l，GN=BN，l-E（BN，l | F∞). 观察（PkGN）Nk=-∞是一个马丁格尔差异序列，GN=PNk=-∞PkGN，我们有KGNK=NXk=-∞kPkGNk。（20） 通过（48）和ν=2的引理2，我们知道预测依赖度量ηi=kPYik是可和的。对τn，ν调用（12）。Letτ*n=最大值≥nτm，2。然后τ*nis非递增和limn→∞τ*n=0。自kPkE（Yj | F∞)k≤ kPkYjk=ηj-坎德基- E（Yj | F∞)k≤ τj，2，我们有kpkgnk≤NXj=N-l+1kPk[Yj- E（Yj | F∞)]k≤NXj=N-l+1min（2ηj-k、 τ*N-l+1）≤ η*, （21）式中η*= 2P级∞i=0ηi。然后，通过（20）和Lebesgue支配的收敛定理，我们得到了limn→∞kGNkl公司≤ 画→∞NXk公司=-∞η*lkPkGNk公司≤ 画→∞NXk公司=-∞η*lNXj=N-l+1min（2ηj-k、 τ*N-l+1）≤ 画→∞η*∞Xi=0min（2ηi，τ*N-l+1）=0，（22）自τ起*N-l+1≤ τ*l→ 0 a s l→ ∞ η是可求和的。Hencepn=3lkGNk=o（nl）。请注意，l=o（n），（19）后接不等式（Pni=1 | zi |/n）≤Pni=1zi/n。