基于惩罚样条的半参数随机波动率建模

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英文标题：
《Semiparametric stochastic volatility modelling using penalized splines》
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作者：
Roland Langrock, Th\\\'eo Michelot, Alexander Sohn, Thomas Kneib
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Stochastic volatility (SV) models mimic many of the stylized facts attributed to time series of asset returns, while maintaining conceptual simplicity. The commonly made assumption of conditionally normally distributed or Student-t-distributed returns, given the volatility, has however been questioned. In this manuscript, we introduce a novel maximum penalized likelihood approach for estimating the conditional distribution in an SV model in a nonparametric way, thus avoiding any potentially critical assumptions on the shape. The considered framework exploits the strengths both of the powerful hidden Markov model machinery and of penalized B-splines, and constitutes a powerful and flexible alternative to recently developed Bayesian approaches to semiparametric SV modelling. We demonstrate the feasibility of the approach in a simulation study before outlining its potential in applications to three series of returns on stocks and one series of stock index returns.
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中文摘要：
随机波动率（SV）模型模拟了许多归因于资产收益时间序列的程式化事实，同时保持了概念上的简单性。然而，考虑到波动性，通常提出的条件正态分布或学生t分布回报的假设受到了质疑。在这篇手稿中，我们介绍了一种新的最大惩罚似然方法，用于以非参数方式估计SV模型中的条件分布，从而避免了对形状的任何潜在关键假设。所考虑的框架利用了强大的隐马尔可夫模型机制和惩罚B样条的优点，并构成了一种强大而灵活的半参数SV建模贝叶斯方法的替代方法。我们在模拟研究中证明了该方法的可行性，然后概述了其在三个股票收益率系列和一个股票指数收益率系列中的应用潜力。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Semiparametric_stochastic_volatility_modelling_using_penalized_splines.pdf (897.87 KB)

2022-6-28 05:07:35 上传

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关键词：半参数 波动率 Applications distribution Quantitative

使用惩罚样条的半参数随机波动率建模Rockland Langrock、Th’eo Michelot、Alexander Sohn和Thomas KneibUniversity of St Andrews，UK。德国哥廷根大学法兰西·奥古斯特（Francegerg-August）的INSA de Rouen抽象随机波动率（SV）模型模拟了许多归因于资产收益时间序列的程式化事实，同时保持了概念上的简单性。然而，考虑到波动性，通常对条件正态分布或学生t分布回报的假设受到了质疑。在这篇手稿中，我们介绍了一种novelmaximum惩罚似然方法，用于以非参数方式估计SV模型中的条件分布，从而避免了对形状的任何潜在关键假设。所考虑的框架利用了强大的隐马尔可夫模型机制和惩罚B样条曲线的优势，并构成了一种强大而灵活的半参数建模贝叶斯方法的替代方案。我们在模拟研究中证明了该方法的可行性，然后概述了其在三个股票收益率系列和一个股票指数收益率系列中的应用潜力。关键词：B样条；交叉验证；正向算法；隐马尔可夫模型；数值积分；惩罚可能性1简介随机波动率（SV）模型是非常流行的金融时间序列分析工具。状态空间模型（SSM）的这一子类是两种最广泛的模型之一1–股市波动建模的预直觉方法，另一种是ARCH/GARCHtype模型。下面是标准离散时间SV模型的结构，标记为SV，用于日志返回y。

，yTon a asset，如下所示：yt=ε（0）tβexp（gt/2），gt=φgt-1+σηt，（1）其中β，σ>0，其中{ε（0）t}和{ηt}是独立标准正态随机变量的独立序列（见Shephard，1996）。对于|φ|<1，获得了平稳性。未观察到的序列{gt}，通常被称为对数波动过程，代表了市场随时间变化的“紧张”。该模型捕获了一些与资产收益相关的程式化因素，包括平方收益的正自相关（表明波动率随时间缓慢变化，因此波动率聚类）、非平方收益的零自相关以及超过3的峰度。然而，基本模型倾向于低估相对极端回报的概率，因此考虑ε（0）t具有ν自由度的Student-t分布通常更为充分（Chib等人，2002）；我们将第二个模型标记为SVt。在现有文献中，考虑了几种不同的模型公式，它们扩展了对数挥发性过程的灵活性，{gt}（例如，Gallant等人，1997；Abraham等人，2006；Langrock等人，2012）。然而，Durham（2006）发现“没有证据表明即使是简单的单因素模型也无法捕捉波动过程的动态”（第276页）。相反，他认为SV模型中条件分布的形状，即给定gt的yt条件分布的形状，是“更关键的问题”（第304页）。除了SVT公式中说明的重尾外，还发现了不对称的证据（例如，见Gallant et al.，1997；Harvey and Siddique，2000；Jondeau and Rockinger，2003；Durham，2006）。例如，在风险管理中，获得正确的形状，尤其是准确估计条件分布的尾部，是非常重要的。

虽然可以构建参数模型来包含重尾和偏态，但非参数方法具有相当大的优势，即对特定类别的分布没有先验限制。最近在这一方向上的许多工作都是在贝叶斯环境下进行的，其中正态分布可以用作构建更复杂模型的基础，这些模型仍然利用正态公式的优点来构建方便的更新方案2–预印马尔可夫链蒙特卡罗模拟。Abanto Valle et al.（2010）考虑条件分布的正态分布的尺度混合，其中正态分布的方差由适当的先验规范来实现，这些规范在整合方差的混合分布后产生了更大类别的潜在边际分布。Jensen和Maheu（2010年）以及Delatola和Grifin（2011年）已经开发出依赖于Dirichletprocess混合之前生成的有限维法线混合的非参数精度。Jensen和Maheu（2010）直接解决了回报的条件分布问题，Delatola和Griffn（2011）采用了不同的表示法，其中回报过程中的平方噪声对数被考虑用于分析。Delatola和Griffn（2013）通过引入杠杆效应扩展了后一种方法，分别考虑了收益率和对数波动率过程中两个误差项的潜在相关性。在这篇手稿中，我们发展了一种新的非参数估计SV模型中条件分布的频率分析方法。提出的最大惩罚似然方法利用了基于似然的隐马尔可夫模型（HMM）机制和惩罚B样条（即P样条）的优点。

前者用于解决SV模型的一个众所周知的难题，即它们的可能性由分析上难以解决的高阶多重积分给出。然而，已经表明，HMM可用的方法-与SV模型具有相同的依赖结构，并构成SSM的另一个子类，具有有限的状态空间-可以应用于SV模型可能性的快速准确数值积分。更具体地说，这种数值积分对应于对数波动过程支持的精确离散化。将{gt}的连续支持度转换为有限支持度，使得强大的HMM正向算法适用，从而可以评估SV模型可能性的任意精确近似值（Fridman和Harris，1998；Bartolucci和De Luca，2001、2003；Langrock等人，2012）。通过将此分布的密度表示为大量标准化B样条基函数的线性组合，我们扩展了这种基于可能性的方法，以允许对条件分布进行非参数估计，包括可能性中的粗糙度惩罚，以便在拟合密度的拟合优度和平滑度之间达到适当的平衡。由于我们仍然以参数化的方式对对数波动率过程进行建模，因此我们使用标签SVSP来表示得到的具有非参数建模条件分布的半参数SV模型3–预印纸张结构如下。在第2节中，我们首先描述了基于HMM的相似性评估，然后介绍了基于B样条的条件分布表示，并讨论了相关的推理问题。在第3节的模拟研究中，研究了建议的方法的性能。

在第4节中，我们将该方法应用于与三只股票和一只股票指数相关的实际数据，将我们的模型的预测性能与流行的参数对应模型进行比较。2半参数SV模型2.1 SV模型可能性我们考虑的模型SVspof the formyt=εtexp（gt/2），gt=φgt-1+σηt，（2）ηtiid标准正态，但与模型sv和SVt相比，我们没有对随机变量εt的分布形式作出任何假设。然而，我们假设这些变量为iid，并且独立于{ηt}。我们的目标是非参数估计变量εt的概率密度函数（pdf）fε。与模型SV相比，如（1）所示，我们省略了（2）中的参数β，因为否则，该半参数模型将无法识别；在SVspmodel中，β的影响将在fε内被吸收。在介绍以非参数方式（与其他模型参数一起）估计fε的策略之前，我们将推导一般fε的可处理似然函数，包括非参数情况，也包括正态分布和Student-t分布的情况。为了表示可能性，我们将需要随机变量yt的条件PDF，给定gt（t=1，…，t）。我们用f（yt | gt）表示这些条件PDF，对于t=1，T这些PDF是密度fε：f（yt | gt）=exp的简单变换(-燃气轮机/2）fε（ytexp(-燃气轮机/2））…-4–预打印对于任何fε，然后可以导出（2）定义的模型的可能性，即L=Z。Zf（y，…，yT，g，…，gT）dgT。dg=Z。Zf（y，…，yT | g，…，gT）f（g，…，gT）dgT。dg=Z。Zf（g）f（y | g）TYt=2f（gt | gt-1） f（yt | gt）dgT。dg=Z。Zf（g）exp公司(-g/2）fε（yexp(-g/2））×TYt=2f（gt | gt-1） 经验值(-燃气轮机/2）fε（ytexp(-gt/2））dgT。dg。（3） 在最后的第二步中，我们开发了支持向量机模型、HMM和一般SSM的依赖结构。

因此，可能性是无法直接计算的高阶多重积分。通过数值积分，使用基于m等距间隔的简单矩形规则，Bi=（Bi-1，bi），i=1，m、 带中点b*对于长度b，其可能性可近似如下：≈ bTmXi=1。mXiT=1f（b*i） 经验值(-b*i/2）fε（yexp(-b*i/2））×TYt=2f（b*it | b*它-1） 经验值(-b*it/2）fε（ytexp(-b*it/2））=拉普洛克斯。（4） 如果区间（b，bm）覆盖了对数波动过程的基本范围（更多细节见下文），则可以通过增加m来获得任意精度的近似值，事实上，m的虚拟精确值约为100。在给定的形式中，近似似然（4）通常难以计算，因为它涉及mTfunction评估。然而，可以使用有效的递归方案来评估（4）。要看到这一点，请注意，数值积分本质上对应于状态空间的离散化，即支持对数波动过程{gt}。因此，可以使用HMM给出的SSM子类中发展良好且功能强大的机制来评估（4）中给出的近似可能性，该子类SSM是具有有限状态空间的SSM（参见Langrock，2011；Langrock et al.，2012）。我们在本手稿的附录中概述了相关的HMM方法。特别是，在附录中，我们强调了HMMs的一个关键特性，即可以使用所谓的正向算法有效地评估可能性（Zucchini和MacDonald，2009）。对于HMM，应用前向算法会得到的矩阵乘积表达式5–预印可能性，这正是我们在当前上下文中获得的结果：Lapprox=δP（y）OhmP（y）OhmP（y）····OhmP（yT-1)OhmP（yT）1。（5） 这里，m×m矩阵Ohm =ωij与HMM情况下的转移概率矩阵类似（见附录），定义为ωij=f（b*j | b*i） ·b。

此外，向量δ类似于HMM的马尔可夫链初始分布，这里定义了δi，i=1，m、 是平均值为零且标准偏差σ/p1的正态分布密度- φ-用于建模对数波动率的自回归过程的平稳分布-在b*最后，P（yt）是一个m×m对角矩阵，具有第i个对角项exp(-b*i/2）fε（ytexp(-b*因此，对于HMM，与包含状态相关概率的矩阵类似。使用（5）中给出的矩阵乘积表达式，评估近似似然度所需的计算效果在观测数T中是线性的，在离散化中使用的间隔数m中是二次的，这意味着SV模型的可能性通常可以在几分之一秒内计算出来，即使对于千分之一的T和saym=150，这个值使得近似值几乎精确。此外，Lapprox→ Las bm，m→ ∞ 和b→ -∞.2.2非参数建模我们现在转向εt分布的非参数建模。继Schellhasean和Kauermann（2012）之后，我们建议通过考虑大量基函数的有限线性组合来估计εt的pdf：^fε（x）=KXk=-Kakψk（x）。（6） 这里的基函数ψ-KψKare已知和固定的PDF。显然，^fε（x）则是apdf ifPKk=-Kak=1和aj≥ 0表示所有j=-KK、 为了实施这些约束，要估计的系数-K使用多项式logit linkfunctionk=exp（βk）PKj转换aK=-Kexp（βj），（7）。-6–预印本，其中我们将β设置为0表示可识别性。原则上，任何一组密度ψ-Kψkc可用于近似fε（x），如（6）所示。

我们遵循Schellhase和Kauermann（2012），在（6）中使用的基础上，按升序使用Bsplines，并进行了标准化，以便将它们集成到1中。有关B样条曲线的更多详细信息，请参见de Boor（1978）和Eilers and Marx（1996）。由于每个B样条基函数都与一个单独的参数相关联，因此该模型公式实际上导致了一个有限维的参数空间。然而，维度很高，单独的参数不再令人感兴趣或可解释-模型已过参数化。因此，我们将我们的估计方法称为非参数方法，尽管它确实依赖于具有大量参数的参数规范。这与文献中使用的标准术语一致，其中（受惩罚的）夹板法属于非参数方法（参见Ruppert等人，2003）。所得SVspmodel的近似可能性由（5）给出，在矩阵P（yt），t=1，…，中插入^fε，T继Eilers和Marx（1996）之后，我们修改了（近似）对数可能性，包括对与相邻B样条曲线相关的系数之间（q阶）差异的惩罚，得出了惩罚的对数可能性Lp=对数Lapprox公司-λKXk=-K+qqak公司, （8） Ak参数化如（7）所示，平滑参数λ≥ 惩罚条款涉及差异运算符, 哪里ak=ak- ak公司-1和qak=(q-1ak）。这导致了对估计量粗糙度的惩罚，λ控制着对拟合优度和平滑度的重视程度。特别是，获得了λ=0的未赋能估计。对于λ→ ∞ 惩罚将支配可能性，导致一系列权重Ak遵循q阶多项式- 1英寸k。

因此，差异顺序也会间接影响估计值的平滑度（与样条曲线基础的程度相比，影响程度要小得多）。我们将在余数中使用q=2，因为这为积分平方二阶导数惩罚提供了一种近似，这种惩罚在平滑样条曲线的上下文中很流行。在可能性中包含惩罚项可以避免选择最佳数量的基础元素的问题，因为如果平滑参数以数据驱动的方式进行调整，惩罚可以有效地减少自由基础参数的数量并产生数据的自适应fit。基本元素的数量需要足够大，以便——7–预印本为反映条件分布fε的结构提供了充分的灵活性，但一旦通过该阈值，增加基本元素的数量将不会因惩罚的影响而进一步改变数据。对于中等平滑的回归函数，Ruppert（2002）建议使用大约35（或40）个基本函数的默认值。为了获取εtin和SV模型的pdf，我们希望这样的选择能够很容易地提供足够的灵活性，因此在我们的分析中相应地选择了K（见下文）。为了以数据驱动的方式选择平滑参数，我们将考虑交叉验证（见第2.3.2节）。在初步的模拟实验中，我们发现，对于等距的节间距，我们的方法倾向于产生估计的密度，这些密度在真实分布的峰值周围过于平滑，而在尾部则过于摇摆。