Ninomiya Victoir方案：强收敛、对偶版本和

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英文标题：
《Ninomiya-Victoir scheme: strong convergence, antithetic version and
  application to multilevel estimators》
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作者：
Anis Al Gerbi, Benjamin Jourdain, Emmanuelle Cl\\\'ement
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, we are interested in the strong convergence properties of the Ninomiya-Victoir scheme which is known to exhibit weak convergence with order 2. We prove strong convergence with order $1/2$. This study is aimed at analysing the use of this scheme either at each level or only at the finest level of a multilevel Monte Carlo estimator: indeed, the variance of a multilevel Monte Carlo estimator is related to the strong error between the two schemes used on the coarse and fine grids at each level. Recently, Giles and Szpruch proposed a scheme permitting to construct a multilevel Monte Carlo estimator achieving the optimal complexity $O\\left(\\epsilon^{-2}\\right)$ for the precision $\\epsilon$. In the same spirit, we propose a modified Ninomiya-Victoir scheme, which may be strongly coupled with order $1$ to the Giles-Szpruch scheme at the finest level of a multilevel Monte Carlo estimator. Numerical experiments show that this choice improves the efficiency, since the order $2$ of weak convergence of the Ninomiya-Victoir scheme permits to reduce the number of discretization levels.
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中文摘要：
在本文中，我们对Ninomiya-Victoir格式的强收敛性感兴趣，该格式具有2阶弱收敛性。我们证明了订单为1/2美元时的强收敛性。本研究旨在分析该方案在每个层次上的使用情况，或仅在多层蒙特卡罗估计量的最精细层次上的使用情况：事实上，多层蒙特卡罗估计量的方差与在每个层次的粗网格和细网格上使用的两个方案之间的强误差有关。最近，Giles和Szpruch提出了一个方案，该方案允许构造一个多级蒙特卡罗估计量，以达到精度$\\ε$\\的最优复杂性$\\左（\\ε^{-2}\\右）$。本着同样的精神，我们提出了一种改进的Ninomiya-Victoir方案，该方案可能与Giles-Szpruch方案在多层蒙特卡罗估计的最佳水平上的1美元订单强耦合。数值实验表明，这种选择提高了效率，因为Ninomiya Victoir格式的弱收敛阶数为2$，可以减少离散化层数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：CTO ICT Applications Quantitative Differential

Ninomiya-Victoir格式：强收敛，对偶版本以及在多层估计中的应用。Al Gerbi，B.Jourdain*和E.Cl'ement+2018年10月10日在本文中，我们对Ninomiya Victoirscheme的强收敛性质感兴趣，已知Ninomiya Victoirscheme具有弱收敛的2阶。我们证明了1/2阶的强收敛性。本研究旨在分析该方案在每个层次上的使用情况，或仅在多层蒙特卡罗估计量的最高层上的使用情况：事实上，多层蒙特卡罗估计量的方差与在每个层次的粗网格和细网格上使用的两个方案之间的str on g误差有关。最近，Giles和Szpruch在[6]中提出了一个方案，允许构造一个多级蒙特卡罗估值器，以实现-2.为了精度。本着同样的精神，我们提出了一个改进的Ninomiya Victoir方案，该方案可能与Giles Szpr uch sch-eme在多层蒙特卡罗估计量的最低水平上的1阶强耦合。数值实验表明，这种选择提高了效率，因为Ninomiya-Victoir格式的弱收敛阶2会减少离散化层数。1简介本文致力于计算Y=E[f（XT）]，其中f:Rn-→ R是一个Payoff函数，Xt是时间T的解∈ R*+, 到形式的多维随机微分方程dXt=b（Xt）dt+dPj=1σj（Xt）dWjt，t∈ [0，T]X=X.（1.1）此处，X∈ Rn是初始条件，W=W西部数据是d-维标准布朗运动，b:Rn-→ Rn是漂移系数，σj:Rn-→ Rn，j∈ {1, . . .

，d}，是差异系数。标准蒙特卡罗方法包括通过用N离散stoch asticdi微分方程来估计E[f（XT）]∈ N*步骤和使用M逼近期望值∈ N**巴黎理工大学，Cermics（ENPC），INRIA，F-77455，Marne la Vall\'ee，France电子邮件：jourdain@cermics.enpc.fr，anis。al公司-gerbi@cermics.enpc.fr-这项研究得益于“主席式金融家”基金会的支持。+巴黎理工大学，LAMA（UMR 8050），UPEMLV，UPEC，CNRS，F-77454，法国马恩拉瓦利，电子邮件：emmanuelle。clement@u-pem。fr.独立路径模拟。明确地说，crud e蒙特卡罗估计量由^YCMC=MMXk=1f给出XN，kT其中，XN，kar是时间步长为T/N的数值格式XN的独立副本。在一些关于SDE系数的正则性假设和平滑支付的情况下，众所周知，为了确保均方根误差，该方法的计算成本为-(2+α), 当eα是数值格式的弱收敛阶时（见[3]中的定理1）。在[8]中，Ninomiya和Victoir提出了一种数值格式，实现了α=2，与α=1的Euler格式相比，该格式降低了计算复杂度。在时间复杂性方面-(2+α), 项1/α是由于偏差E[f（XT）]-EfXNT公司.为了消除这一项，Giles在[5]中引入了一种多级蒙特卡罗估计器，即介电常数望远镜消除偏差。多层蒙特卡罗估计量的构建如下所示：Y=MMXk=1fX1,0，kT+LXl=1MlMlXk=1fXl、l、kT-fXl码-1，l，kT其中L∈ N*是时间步长为T/2L（Ml）0的最后一级离散化≤l≤L∈（N）*)L+1是各级样本量的向量。此外，对于所有l∈ {1，…，L}，两个数值格式Xl，lTand Xl-1、用相同的布朗运动对LTA进行模拟。对于每个隔离级别l∈ {0, . . .

，L}，Mlindependent和同分布路径模拟使用独立于其他级别的路径模拟。该方法的最优复杂度由方差V的收敛阶β决定fXl，lT- fXl码-1，lT, 这与格式的强收敛阶γ有关。对于Lip-schitz-Payoff f，利用方案在方差估计中的强收敛性，可以得到β≥ 2γ. 对于β>1，最佳复杂度为O-2.. 这种复杂性与具有独立且同分布无偏随机变量的简单MonteCarlo方法中的复杂性相同。Milstein方案满足条件β>1，其中γ=1。不幸的是，要模拟Milstein格式，通常需要模拟当布朗运动d的维数大于2时，没有已知方法的L’evy区域。除非扩散系数σj，j∈ {1，…，d}，是常数，Euler格式的强阶为γ=1/2，这导致β=1，并导致最优复杂性为-2.日志.最近，已经开发了两种方法来改进γ=1/2的情况。在[6]中，Giles和Szpruch引入了一个改进的Milstein方案，将L'evy区域设置为零，其对偶版本基于方案中每一对连续的布朗增量的交换。关于多层蒙特卡罗估计，在每个离散化水平l∈ {1，…，L}，在最网格上，Giles和Szpruch没有使用简单的方案，而是使用了方案的算术平均值及其对偶版本，如下所示：Y=MMXk=1fX1,0，kT+LXl=1MlMlXk=1fXl、l、kT+ fXl、l、kT- fXl码-1，l，kT其中xl表示Giles-Szpruch方案的对偶版本，时间步长为T/2l。

Gilesand Szpruch在一些关于SDE系数和平滑支付的正则性假设下表明，Sγ等于1/2，β等于2，这导致了-2.. 第二种方法称为多级Richardson-Romber g方法，由Lemaire和Pag\'es在[7]中研究，它充分利用了弱误差展开的存在，同时保持了多级Monte Carlo估计的性质。多级Rich ardson-Romber估计量是多级蒙特卡罗方法的加权版本，该方法集成了Pag\'es在[10]中开发的多级Richardson-Romber g外推。Lemaire和Pag\'es得到了一个最优复杂性O-2日志当β=1时，改进了标准多级蒙特卡罗方法。当β>1时，最优复杂度为-2.ISP保留。在这篇论文中，我们建议使用Ninomiya Victoir方案，该方案已知在多级蒙特卡罗估值器最后一级L的最细网格上表现出2阶弱收敛。这一想法受到Debrabant和R¨ossler[2]的启发，他们建议在多层MonteCarlo方法的最底层L的最底层网格上使用高阶弱收敛的方案。通过这种方式，Debrabant和R¨ossler通过减少离散化级别的数量来降低计算复杂性中的常数。在第二节中，为了保证Ninomiya-Victoir格式的强收敛阶，我们提出了在时间网格点之间进行适当插值的思想。然后，在一些关于SDE系数的正则性假设下，我们证明了阶γ=1/2的stron g收敛性。在第3节中，我们提出了一个改进的Ninomiya Victoir方案，该方案可能与Giles Szpruch方案的1阶强耦合。

这一结果允许我们推导出NinomiyaVictoir方案的相反版本，并将Giles Szpru-ch和Debrabant-R¨ossler的思想结合起来，通过将Giles Szpruch方案从0级构建到L级的多层蒙特卡罗估计量- 1以及Ninomiya Victoir方案和Giles Szpruch方案在最后一级L之间的耦合。第4节证实了该估计器的效率，其中我们详细介绍并评论了在Clark Cameron SDE和HestonSDE上进行的数值实验，如【6】。2 Ninomiya-Victoir模式的强收敛性我们在本节开始时介绍了本文将使用的一些符号。为了离散化（1.1），我们考虑一个时间步长为h=T/N的非if-orm网格，其中N∈ N*和wedenote：o（tk）k∈[[0；N]]=kh具有相等时间步长h的[0，T]细分，oτs s之前的最后一次离散化∈ [0，T]，即^τs=tkif s∈ （tk，tk+1），d表示s=t=0，我们设置^τ=t=0，oeτs在s之后的第一次离散化∈ [0，T]，即ˇτs=tk+1if s∈ （tk，tk+1），对于t=0，我们设置ˇτ=t=0，oj∈ {1，…，d}，s∈ [0，T]，使得tk<s≤ tk+1，Wjs=Wjs- Wjtk，os∈ [0，T]，使得tk<s≤ tk+1，s=s- tk，oη=（η，…，ηN）一系列独立的、同分布的Rademacher随机变量，与W无关，o通过稍微滥用N旋转，我们设置ηs=ηk+1if s∈ （传统知识，传统知识+1），ox个∈ R+，x个 表示唯一的n∈ N*满足n- 1<x≤ n、 ox个∈ R+，x个 表示唯一的n∈ N*满足n≤ x<n+1。让V：Rn-→ RnLipschitz连续，并考虑Rn中的普通微分方程：dx（t）dt=V（x（t））x（0）=x.（2.1）时间t时（2.1）的解，t∈ R表示为x（t）=exp（tV）x，（2.1）的积分形式为x（t）=exp（tV）x=x+ZtV（x（s））ds=x+ZtV（exp（sV）x）ds。我们回忆起（1.1）中的th，每个坐标i∈ {1, . . .

，n}根据以下随机微分方程dxit=bi（Xt）dt+dXj=1σij（Xt）dWjt演变。然后，假设差异系数的规则性，我们可以用层叠形式写出（1.1）dXt=σ（Xt）dt+dPj=1σj（Xt）o dWjtX=x（2.2），其中σ=b-民主党=1σjσjandσjis是σjd的雅可比矩阵，定义如下σj=σjiki、 k级∈[[1；n]]=xkσiji、 k级∈[[1；n]]。现在，我们介绍[8]中介绍的Ninomiya Victoir方案起点：XNV，ηt=x.o对于k∈ {0…，N- 1} ，如果ηk+1=1：XNV，ηtk+1=exphσ经验值Wdtk+1σd. . . 经验值Wtk+1σ经验值hσXNV，ηtk，（2.3），如果ηk+1=-1： XNV，ηtk+1=exphσ经验值Wtk+1σ. . . 经验值Wdtk+1σd经验值hσXNV，ηtk。（2.4）当我们使用Ninomiya Victoir方案时，首选Stratonovich形式，因为Stratonovichdrift出现在方案的定义中。此外，使用It^o公式，我们可以t、 s∈ R+，s≤ t、 经验值Wjt公司- Wjs公司五、y=y+ZtsV经验值Wju公司- Wjs公司五、yo dWju。（2.5）然后，重写（2.3）和d（2.4），得到一个sxnv，ηtk+1=XNV，ηtk+dXj=1Ztk+1tkσj(R)Xj，ηso dWjs+Ztk+1tkσ(R)X0，ηs+ σ\'Xd+1，ηsds，（2.6）其中，对于s∈ （tk，tk+1），(R)X0，ηs=expsσXNV，ηtk{ηk+1=1}+(R)X1，ηtk+1{ηk+1=-1}, （2.7）对于s∈ （tk，tk+1），j∈ {1，…，d}，(R)Xj，ηs=expWjsσj(R)Xj-1，ηtk+1{ηk+1=1}+(R)Xj+1，ηtk+1{ηk+1=-1}, （2.8）对于s∈ （tk，tk+1），’Xd+1，ηs=expsσ(R)Xd，ηtk+1{ηk+1=1}+XNV，ηtk{ηk+1=-1}. （2.9）表示“X”-1，ηtk+1=(R)Xd+2，ηtk+1=XNV，ηtk，得到一个类似于（2.8）的表达式，表示j∈ {0，d+1}和s∈ （tk，tk+1）(R)Xj，ηs=expsσ(R)Xj-1，ηtk+1{ηk+1=1}+(R)Xj+1，ηtk+1{ηk+1=-1}. （2.10）然后，可以观察到Ninomiya Victoir方案是通过将exactsolution X替换为SDE（1.1）Stratonovich配方（2.2）中的一个中间过程“Xj，η”获得的。备注2.1随机过程\'Xj，ηtt型∈[0，T]，j∈ {1，…d+1}，不适用于自然过滤Ft=σ（Ws，s≤ t） 布朗运动。

为了解决这个问题，我们使用以下过滤▄Fjt=σWjs，s≤ t型Wk6=jσWks，s≤ T, j∈ {1，…，d}。那么，对于j∈ {1，…，d}，根据独立性，Wjis是一个▄FjBrownian运动，而▄Xj，η适应过滤▄Fj。这确保了每个随机积分都得到了很好的定义。为了研究强收敛性，我们必须建立一个插值格式。允许XNV，ηtt型∈[0，T]是以下It^o过程dXNV，ηt=dPj=1σj（(R)Xj，ηt）o dWjt公司+σ(R)X0，ηt+ σ\'Xd+1，ηtdtXNV，η=x.（2.11）使用（2.6）和正向感应，可以表明XNV，ηt0≤t型≤这是theNinomiya Victoir方案的插值XNV，ηtkk∈[[0；N]]。的It^o分解XNV，ηtt型∈[0，T]的计算公式为dXNV，ηt=dPj=1σj（(R)Xj，ηt）dWjt+dPj=1σjσj\'Xj，ηtdt公司+σ(R)X0，ηt+ σ\'Xd+1，ηtdtXNV，η=x.（2.12）备注2.2此方案的自然和自适应插值可以是xnv，ηt=hηtt，Wt，t；XNV，η^τt（2.13）其中-1（t，…，td+1；x）=exptσ经验值tσ. . . 经验值tdσd经验值td+1σx（2.14）和h（t，…，td+1；x）=exptσ经验值tdσd. . . 经验值tσ经验值td+1σx、 （2.15）在这两种情况下Wt公司=Wt，Wdt公司. 为了得到XNV，η的It^o分解，我们必须应用It^o公式。为此，我们必须计算hη的导数。在一般情况下，该函数导数的计算相当复杂。这就是为什么我们不会关注此插值。2.1强收敛我们记得σj∈ C（Rn，Rn），j∈ {1，…，d}，我们假设向量场σj，j∈{0，…，d}，和σjσj，j∈ {1，…，d}，是Lipschitz连续函数。显然，b也是solipschitz连续的，因为b=σ+dPj=1σjσj.让L∈ R*+表示其公共Lipschitz常数：j∈ {0，…，d}，x、 y型∈ 注册护士，σj（x）- σj（y）≤ L kx- yk，j∈ {1，…，d}，x、 y型∈ 注册护士，σjσj（x）- σjσj（y）≤ L kx- yk其中，欧几里德范数由k.k.定理2.3表示，设p∈ [1, +∞).

在之前的Lipschitz假设下，存在一个确定性常数CNV∈ R*+因此N∈ N*, E“支持≤TXt公司- XNV，ηt2p级η#≤ CNV公司1+kxk2php。当然，这个结果意味着N∈ N*, E“支持≤TXt公司- XNV，ηt2p级#≤ CNV公司1+kxk2php。明显地XNV，ηt0≤t型≤和h依赖于N，但为了保持符号简单，对N的依赖性并不明确。下面的命题将被用来证明定理。命题2.4设p≥ 1，Y=（Yt）0≤t型≤hbe由d维布朗运动驱动的下列n维SDE的解，直到t=h（dYs=α（Ys）ds+β（Ys）dwsy，与（Wt）t无关∈[0，h]使得EhkYk2pi<+∞.假设α和β是Lipschitz连续函数，则：C∈ R*+, t、 s∈ [0，h]，s≤ t、 （一）Eh1+kZtk2pi≤ Eh1+kZk2piexp（Ch）。（2.16）（ii）EhkZt- Zsk2pi≤ C1+EhkZk2pi（t- s） p.（2.17）如果β=0，我们有一个更好的结果：EhkZt- Zsk2pi≤ C1+EhkZk2pi（t- s） 2p。（2.18）常数取决于kα（0）k、kβ（0）k、T、p以及函数α和β的Lipschitz常数。所有这些结果都是众所周知的（例如参见[11]）。2.2中间结果利用前面的命题，可以证明该方案具有一致的附加矩。引理2.5p≥ 1.C∈ R*+, t型∈ [0，T]，N∈ N*, j∈ {0，…，d+1}，E“1+\'Xj，ηt2p级η#≤ exp（Cˇτt）1+kxk2p.证明：L et p≥ 1和t∈ [0，T]，然后k∈ {0，…，N- 1} 使tk<t≤ tk+1。

对于j=0，(R)X0，ηstk<s≤tk+1是以下ODE的解决方案dZs=σ（Zs）dsZtk=XNV，ηtk{ηk+1=1}+(R)X1，ηtk+1{ηk+1=-1}.η和W之间的独立性结合（2.16）确保：E“1+(R)X0，ηt2p级η#≤ E“1+XNV，ηtk{ηk+1=1}+(R)X1，ηtk+1{ηk+1=-1}2p级η#exp中国={ηk+1=1}E“1+XNV，ηtk2p级η#+1{ηk+1=-1} E“1+(R)X1，ηtk+12p级η#!经验值中国.（2.19）同样，对于1≤ j≤ d：(R)Xj，ηstk<s≤tk+1是以下SDE的解决方案：（dZs=σjσj（Zs）ds+σj（Zs）dWjsZtk=(R)Xj-1，ηtk+1。使用相同的参数，可以得到：E“1+\'Xj，ηt2p级η#≤{ηk+1=1}E“1+(R)Xj-1，ηtk+12p级η#+1{ηk+1=-1} E“1+(R)Xj+1，ηtk+12p级η#!exp（Ch）。（2.20）显然，对于j=d+1，有一个类似的结果：E“1+\'Xj，ηt2p级η#≤{ηk+1=1}E“1+(R)Xd，ηtk+12p级η#+1{ηk+1=-1} E“1+XNV，ηtk2p级η#!经验值中国.（2.21）所有向量场的全局Lipschitz常数L都是相同的，因此，这三个不等式涉及相同的常数。在这两种常微分方程中，向量场σ乘以1/2，相当于将方程积分到h/2，只需去掉乘法因子1/2。这就是为什么在两个不等式（2.19）和（2.21）中都有1/2的系数。自所有k∈ {0，…，N}，XNV，ηtk=1{ηk=1}'Xd+1，ηtk+1{ηk=-1} (R)X0，ηtk，可以在k上使用正向感应，在j上使用正向感应（分别向后）∈ {0，…，d+1}如果ηk+1=1（分别为ηk+1=-1） 获取：E“1+\'Xj，ηt2p级η#≤ exp（Ctk+1）1+kxk2p其中C=（d+1）C。以下引理是位置2.4和引理2.5的直接应用。引理2.6p≥ 1.C∈ R*+, t型∈ [0，T]，N∈ N*, j∈ {1, . . .