存在多重风险的墨西哥利率掉期定价

此外，我们还有，NUSD:USD legNMXN的名义价值MXN legN:couponsBN的数量N:N息票CNXC（sj）的基差-1，sj）：第j张息票的期限（双腿）esj：第j张息票的支付时间（双腿）β（sj-1，sj））：第j张息票的应计系数（两段）Eesjt（LIBOR1M（sj-1，sj））：第j个couponEesjt（TIIE28D（sj））的远期伦敦银行同业拆借利率1m-1，sj））：第j个couponPc（美元）USD（t，esj）的远期TIIE 28d利率：美元贴现因子以美元为时间抵押esjPc（美元）MXN（t，esj）：MXN贴现因子以美元为时间抵押esj。就cnXCSs而言，无论优惠券数量多少，我们都有NMXn=NUSDFDUSD→MXN，（6.6），其中fUSD→MX是交易结束时两个交易对手确定的汇率。请注意，通常fUSD→MXN6=fUSD→MXN（t），因为第一个用于确定MXN分支的概念，第二个是用于市值计价的外汇即期汇率。然而，交易完成时，交易对手同意，名义汇率由外汇即期汇率确定，即fUSD→MXN=fUSD→MXN（t）。备注6.3。在普通的cnXCS中，付款日期按照以下约定每28天安排一次。然而，与普通IRS不同，这些付款日期是使用US-MX营业日日历确定的，即期延迟为两个开放日，即交易日后的第二个营业日。此外，对于所有的j=1，…，我们有esj=sj，N备注6.4。对于将伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）100万兑换为伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）300万的普通TS而言，100万分期的利息按月确定，并确定应计因素。

然而，在plainvanilla USDMXN CNXC上，适用的应计系数是根据28天的息票计算的。6不同抵押货币下的MXN IRS定价货币数量（N）固定利率（%）类型价差（%）类型84D 3.3200 IRS 0.5400 cnXCS168D 6 3.4300 IRS 0.5900 cnXCS252D 9 3.5620 IRS 0.6400 cnXCS364D 13 3.7350 IRS 0.6800 cnXCS728D 26 4.2360 IRS 0.7200 CNXCS109D 39 4.6710 IRS 0.8100 cnXCS1456D 52 5.0510 IRS 0.8800 cnXCS1820D 65 5.3610 IRS 0.9200 cnXCS2548D 91 5.8630 IRS 1.0050cnXCS3640D 130 6.2380 IRS 1.0400 cnXCS4368D 156 6.4280 IRS 1.0400 cnXCS5460D 195 6.6320 IRS 1.0200 cnXCS7280D 260 6.8310 IRS 1.0250 CNXCS090D 390 7.0210 IRS 1.0250 cnXCSTable 6.1：2015年5月29日引用TIIE 28d IRS和USDMXN cnXCSs（来源：彭博社）。从前面的章节中，我们知道如何构建以美元为抵押的美元贴现曲线和伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）100万远期曲线。因此，方程式（6.5）中的Pc（USD）USD（t，x）和Ext（LIBOR1M（x，x+1m））的值对于所有x都是已知的。因此，对于所有x.（6.8），我们必须校准arePc（USD）MXN（t，x）和（6.7）Ext（TIIE28D（x，x+28d）），幸运的是，我们有两条掉期曲线作为输入（IRS和cnXCS市场报价，见表6.1），我们必须解决两条曲线作为输出（MXN和TIIE 28d indexcurve中抵押的MXN折扣）。因此，我们得到了一种“方程组”，因为它是一个2×2的“方程组”，所以可能有一个很容易找到的解（不一定是精确解）。在我们开始尝试求解这个“方程组”之前，让我们计算未知变量的数量。请注意，最长期限（30年）的NXCS有390张息票（=30年×13张息票/年）。对于每个MXN息票，我们有两个未知变量：贴现因子和远期指数利率，因此我们有780个变量。

然而，第一张息票的TIIE 28d指数利率是在当时确定的，因此它不是一个未知变量。总之，我们有779个变量和28个方程（表6.1中的14个IRS和14个CNXC）。现在很明显，方程组有有限的解，但我们找到了更简单、更充分的解，与利率市场的期限结构相一致。该解决方案通过插值方法和同时迭代构建两条曲线的多重投影法获得。为了说明这种方法背后的想法，让我们假设我们的市场只有一个IRS和一个CNXC，两者的到期日均为84天。还让我们假设NMXN=1，因此IRS和Cnxcs（两个付款人）在时间t的现值由IRSTIIE28DPayer（t）=Xi=1α（ti）给出-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）- k84dXi=1α（ti-1，ti）Pc（USD）MXN（t，eti），（6.9）我们使用引号，因为输入和输出不能定义真正的方程组，我们稍微滥用了语言。6不同抵押品币种下的MXN IRS定价和CNxCSUDMxNPayer（t）=h- Pc（美元）MXN（t，es）+Pc（美元）MXN（t，esN）+Xj=1β（sj-1，sj）Eesjt（TIIE28D（sj-1，sj）Pc（美元）MXN（t，esj）i-fUSD公司→MXN（t）保险丝→MXNh公司- Pc（USD）USD（t，es）+Pc（USD）USD（t，esN）+Xj=1β（sj-1，sj）Eesjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+B84dPc（USD）USD（t，esj）i.（6.10）假设IRS和CNXC是中等市场报价，我们得到的两个方程都等于零，即IRSTIIE28DPayer（t）=0（6.11）CNXCSUDMxNPayer（t）=0。（6.12）根据备注6.1和6.3，我们通常认为ti6=sj，因为营业日日历不同，而且CNXC的即期滞后时间要大一天。

然而，对于两条曲线的校准，我们将假设这种差异非常小，可以忽略不计。因此，Xi=1α（ti-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）≈Xj=1β（sj-1，sj）Eesjt（TIIE28D（sj-1，sj）Pc（USD）MXN（t，esj），（6.13）并使用方程式（6.9）-（6.13）得出- Pc（美元）MXN（t，es）+Pc（美元）MXN（t，esN）+k84dXj=1β（sj-1，sj）Pc（美元）MXN（t，esj）i-fUSD公司→MXN（t）保险丝→MXNh公司- Pc（USD）USD（t，es）+Pc（USD）USD（t，esN）+Xj=1β（sj-1，sj）Eesjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+B84dPc（USD）USD（t，esj）i=0（6.14）注意，在这个等式中，我们只有四个未知变量：Pc（USD）MXN（t，es），Pc（USD）MXN（t，es28d），Pc（USD）MXN（t，es56d），Pc（USD）MXN（t，es84d）。这四个变量可以使用短期市场计算，即depo和FX forwardsmarkets。让我们介绍brie fly如何执行此任务。当我们使用短期市场，即外汇远期市场时，我们能够从远期点或直接利率中获得用于贴现以美元计价的MXN流动抵押物的隐含收益率。事实上，我们已经知道，美元/墨西哥比索在时间t和在时间t交货的直接外汇汇率由以下公式给出：fUSD→MXNT（t）=Pc（美元）USD（t，t）Pc（美元）MXN（t，t）·fUSD→MXN（t），（6.15）6不同抵押货币下MXN IRS的定价，其中fUSD→MXN（t）是外汇即期汇率。这一市场具有足够的流动性，可以获得许多货币的价格，因此我们可以获得以下直接外汇利率：fUSD→MXNes（t），fUSD→MXNes28d（t），fUSD→MXNes56d（t），fUSD→MXNes84d（t）。因此，使用方程式（6.15），我们可以得到当t≤ T≤1、在曲线的其余部分继续采用短期市场法的一个障碍是，即使在主要货币（如G7货币）中，外汇远期也只有两年或五年的流动性，最多十年的报价。因此，我们需要长期市场数据（IRS和cnXCS），这些数据的报价最长可达30年。

在这项工作中，我们将仅使用IRS和cnXCS进行曲线校准，尽管【MexDer，2014】建议使用短期市场进行长达1年的曲线校准，并使用长期掉期进行曲线其余部分的校准。在我们正式介绍多重自举算法之前，当市场只有一个IRS和一个到期日为84天的XC（三张优惠券）时，让我们继续曲线校准。我们知道，每个贴现因子都有一个相关的收益率，该收益率保持以下等式：Pc（USD）MXN（t，x）=e-（十）-t） R（t，x）。（6.16）求解R（t，x）产率，R（t，x）=-自然对数Pc（美元）MXN（t，x）x个- t、 （6.17）在该方法中，Pc（美元）MXN（t，es）的价值通过短期方法计算，并确定与其相关的收益率。对于其他三个变量Pc（USD）MXN（t，es28d）、Pc（USD）MXN（t，es56d）、Pc（USD）MXN（t，es84d），我们需要找到满足以下条件的R（t，es84d）值：1。R（t，x）=a+b（x- t） +c（x- t） +d（x- t） 使用es≤ x个≤ ES84D a、b、c、d∈ R2.R（t，es）=r3。R（t，x）∈ C，R（t，es）=0，R（t，es84d）=0。这些条件对应于自然三次样条插值方法。请注意，上述条件定义了下一个方程组：a+b（es- t） +c（es- t） +d（es- t） =r（6.18）2c+6d（es- t） =0（6.19）2c+6d（es84d- t） =0。（6.20）因此我们得到了一个包含4个变量的方程组，只有3个方程，因此我们有两个详细的方程，目的是得到一个解。所以我们说r（t，es84d）：=k84d（6.21）==> a+b（es84d- t） +c（es84d- t） +d（es84d- t） =k84d（6.22）换言之，我们主张ES84中到期时间为t的零息票收益率与相同期限的掉期利率不相等。利用这个新方程，系统有一个唯一的解，由以下向量（a，b，c，d）给出。

通过这些系数，我们现在可以得到R（t，es）、R（t，es28d）、R（t，es56d）、R（t，es84d）的值，从而得到Pc（USD）MXN、0（t，es）、Pc（USD）MXN、0（t，es28d）、Pc（USD）MXN、0（t，es56d）、Pc（USD）MXN、0（t，es84d）的值。兰特的下标零是因为我们想强调美元、加元、英镑、欧元和日元。6不同抵押货币下的MXN IRS定价这些值是初始值，因为我们对R（t，es84d）进行了初步猜测。注意，我们还可以计算R（t，et）、R（t，et28d）、R（t，et56d）、R（t，et84d）的值，并将其代入方程（6.9）。这为我们提供了以下方程式IRSTIIE28DPayer（t）=Xi=1α（ti-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）- k84dXi=1α（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）。（6.23）现在方程（6.23）中的未知变量是Eet56dt（TIIE28D（t28d，t56d））和Eet84dt（TIIE28D（t56d，t84d））。为了确定这两个变量的值，我们将采用之前所做的相同假设。e、 定义（t，x）产生零曲线，复制TIIE 28d正向曲线Ext（TIIE28D（x，x+28d））。同样，我们将假设RTIIE（t，x）是一个具有自然立方线条件的分段定义函数。因此，我们得到了1。RTIIE（t，x）=e+f（x- t） +克（x- t） +h（x- t） 带t≤ x个≤ T84D e、f、g、h∈ R、 2。RTIIE（t，y）=所有y的TIIE28D（t）∈ [t，t28d]，3。RTIE（t，x）∈ C，R（t，t28d）=0，R（t，t84d）=0。条件2说明函数rTiie在区间[t，t28d]中有一个恒定值，该值等于时间t时的TIIE 28d参考率，即等于贸易日期中公布的fifixing rate。这一假设保证了收益率曲线Rtiie所暗示的远期利率为28天。让我们来证明这个（直截了当的）事实。

我们知道，TIIE28D前进率由以下等式给出（TIIE28D（S，T））=-τ（S，T）lnPTIIE（T，S）PTIIE（T，T）！（6.24）现在我们有了pTie（t，x）=e-（十）-t） RTIIE（t，x）和RTIIE（t，S）=RTIIE（t，t）=TIIE28D（t）Hencett（TIIE28D（S，t））=-T- Slne公司-（S）-t） TIIE28D（t）e-（T-t） TIIE28D（t）！(6.25)= -ln（e）-（T-S） TIIE28D（t））t- S（6.26）=TIIE28D（t）。（6.27）因此，条件2向我们保证，曲线复制了时间t的已知fixing。现在，如果我们写出可由条件1、2和3导出的方程组，我们得到+f（t- t） +克（t- t） +小时（t- t） =TIIE28D（t）（6.28）2g+6h（t- t） =0（6.29）2g+6h（t84d- t） =0。（6.30）同样，我们有三个方程和四个变量e、f、g、h，因此我们必须定义一个方程，以获得解决方案。所以我们会说Rtiie（t，t84d）：=TIIE28D（t）+ε，ε∈ R（6.31）==> e+f（t84d- t） +c（t84d- t） +d（t84d- t） =TIIE28D（t）+ε（6.32）6不同抵押货币下的MXN IRS定价ε的值是利率曲线构造的一个参数，有助于我们快速收敛到解决方案。该参数取决于曲线的结构以及央行未来可能采取的货币政策决策。例如，如果市场正在为接下来几个月的加息定价，那么ε>0。此参数只是一个用于简化算法收敛的变量。一旦我们有了系数向量（e、f、g、h），我们就可以计算出TIIE 28d的远期利率。然后，我们将这些远期利率代入方程（6.23），并为普通IRS生成一个按市价计算的∏，由∏（RTIIE（t，es56d），RTIIE（t，es84d），ε）=Xi=1α（ti-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）- k84dXi=1α（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）。（6.33）∏（RTIIE（t，es56d），RTIIE（t，es84d），ε）的值不一定等于零，因此IRS的掉期利率K84不在平价。

该算法的思想是使市价∏等于零，因此我们必须找到方程的根（6.33）。在这项工作中，我们将应用对分法来完成这项任务，尽管有更有效的方法来查找根，如NewtonRaphson方法（见【Burden and Faires，2010】）。因此，我们必须改变ε的值，然后计算（e，f，g，h）的值，直到∏≈ 0。然后我们将TIIE 28Din的远期利率替换为cnXCS方程（6.10）。如果cnxcsudmxnpayer（t）=0，则我们完成了算法的迭代。然而，通常在一次迭代之前，我们没有cnxcsudmxnpayer（t）=0，因此我们必须继续进行更多的迭代。从方程（6.10）中，我们必须引导新的系数（a、b、c、d），使其等于零。完成此任务后∏m（Rm（t，es），Rm（t，es28d），Rm（t，es56d），Rm（t，es84d））=h- Pc（美元）MXN，m（t，es）+Pc（美元）MXN，m（t，esN）+k84dXj=1β（sj-1，sj）Pc（美元）MXN，m（t，esj）i-fUSD公司→MXN（t）保险丝→MXNh公司- Pc（USD）USD（t，es）+Pc（USD）USD（t，esN）+Xj=1β（sj-1，sj）Eesjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+B84dPc（USD）USD（t，esj）i（6.34）∏（R（t，es），R（t，es28d），R（t，es56d），R（t，es84d））的值通常不同于零，因为我们对R（t，es84d）的值进行了初步猜测。多重自举的思想是必须迭代R（t，es84d）的值，并使IRS和cnXCS的市场标记值等于零。6不同抵押货币下的MXN IRS定价此算法的思想是通过将IRS更改为cnXCS迭代数据来校准两条曲线：期限（X=（84d，168d，…，10920d），IRS利率（kX=（k84d，…，k10920d））和cnXCSBasis利差（BX=（B84d，…，B10920d））结果：所有X的Pc（USD）MXN（t，X）∈ [t，10920d]和Ext（TIIE28D（x，x+28d）），用于allx∈ [t，10892d]定义方程：Γ：IRSTIIE28DPayer（t，X，Pc（USD）MXN（t，X），Ext（TIIE28D（X，X+28d））。

（6.1）Γ：CNXCSUDMxnPayer（t，X，Pc（USD）MXN（t，X），Ext（TIIE28D（X，X+28d））。（6.3）Γ：CNxCSUDMxnPayer，MXN FixedLeg（t，X，Pc（USD）MXN（t，X））。（6.14）m=0；1） 计算{Pc（USD）MXN（t，x）}mfromΓ；2） 替换{Pc（USD）MXN（t，x）}minΓ并计算{Ext（TIIE28D（x，x+28d））}m；3） 替换{Ext（TIIE28D（x，x+28d））}minΓ并计算{Pc（USD）MXN（t，x）}m+1；4） 定义m：=m+1，重复步骤2，直到达到收敛。算法1：校准以美元为抵押的MXN贴现曲线和指数TIIE 28d远期利率的步骤。0.00.20.40.60.81.0饱和度（天）折扣系数28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DMXN美元-抵押贴现曲线图6.1:MXN以美元抵押的贴现曲线：P（T）=Pc（USD）MXN（T，x）。

这条曲线的重要性在于，在与CSA签订的美元合同中，每一笔MXN美元现金流都与此相关。6不同抵押品币种下的MXN IRS定价0.40.50.60.70.80.91.0自然（天）贴现系数28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DMXN USD-抵押贴现曲线MXN贴现曲线（超级衍生品）MXN贴现曲线（单一-曲线）图6.2：在该图中，我们展示了单曲线框架、多曲线框架中的MXN贴现曲线以及超级衍生品中用于贴现MXNcash流量的贴现曲线。345678成熟度（年）28D远期利率（%）28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DTIIE 28D 28D-正向曲线图6.3：多曲线框架中的TIIE 28d正向曲线Ext（TIIE28D（x，x+28d）），使用自然三次样条曲线插值屈服率。6不同抵押品币种下的MXN IRS定价345678到期日（年）28D远期利率（%）28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DTIIE 28D-正向（多-曲线）TIIE 28D-正向（单个-曲线）TIIE 28D-远期（超级衍生工具）图6.4：在该图中，我们展示了单一曲线框架、多曲线框架中的TIIE 28d 28d远期曲线以及同一日期超级衍生工具定义的远期曲线（2015年5月29日）。6.2由于没有CSA协议或清算中心交易对手，无抵押或无抵押利率衍生品的MXN贴现曲线校准也称为无担保交易。对于无抵押交易，应选择哪种贴现曲线，这是所有市场参与者都在争论的问题。事实上，自危机以来，许多衍生品交易商已经对无抵押交易进行了估值调整（尤其是FVA）。