参数风险平价

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英文标题：
《Parametric Risk Parity》
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作者：
Lorenzo Mercuri, Edit Rroji
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Any optimization algorithm based on the risk parity approach requires the formulation of portfolio total risk in terms of marginal contributions. In this paper we use the independence of the underlying factors in the market to derive the centered moments required in the risk decomposition process when the modified versions of Value at Risk and Expected Shortfall are considered.   The choice of the Mixed Tempered Stable distribution seems adequate for fitting skewed and heavy tailed distributions. The ensuing detailed description of the optimization procedure is due to the existence of analytical higher order moments. Better results are achieved in terms of out of sample performance and greater diversification.
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中文摘要：
任何基于风险平价方法的优化算法都需要根据边际贡献计算投资组合的总风险。在本文中，我们使用市场中潜在因素的独立性来推导风险分解过程中所需的中心矩，其中考虑了风险价值和预期缺口的修改版本。选择混合回火稳定分布似乎足以拟合倾斜和重尾分布。随后对优化过程的详细描述是由于存在解析高阶矩。在样本外绩效和更大的多样化方面取得了更好的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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PDF下载：
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2022-6-29 20:58:13 上传

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关键词：Optimization distribution Quantitative Contribution Applications

参数风险平价Lorenzo MERCURI和Edit RROJIS 2014年9月30日摘要基于风险平价方法的任何优化算法m都需要根据边际贡献计算投资组合的总风险。在本报告中，我们使用市场中潜在因素的独立性来推导风险分解过程中所需的中心动量，其中考虑了风险价值和预期缺口的修改版本。对于倾斜和重尾分布，选择混合回火稳定分布似乎是足够的。随后对优化过程的详细描述是由于分析高阶矩的存在。在样本外绩效和更大的差异性方面取得了更好的结果。1简介现在，人们越来越重视风险的来源，而不仅仅是级别。除了对特定因素对风险的边际贡献进行测试外，我们还必须处理风险平价等新概念。这是一种注重风险分配而非资本分配的投资组合管理方法（详见Denis et al.，2011），它表明，在多元化程度很高的投资组合中，所有资产类别对投资组合总风险的边际贡献应相同。在金融文献中，基于历史模拟的非参数方法已经得到了深入研究，但正如Meucci（2009）所观察到的那样，只考虑兴趣变量过去实现情况的方法取决于时间间隔的选择。

估计的稳定性问题需要较大的样本量（例如，参见Martellini和Ziemann（2010）、Hitaj和Mercuri（2013），在应用于投资组合选择问题的样本矩的背景下），但另一方面，由于市场条件可能发生了变化，过去的实现可能不太现实。这个问题的一个简单答案是使用指数衰减的权重进行观察，也就是说，过去我们认为每个观察都是更相关的最新实现，而不是给予同等的权重。但这样做，我们可能会错误地忽视过去在与今天市场类似的条件下实现的情景。参数分布足够灵活，能够拟合财务回报的时间序列，可以作为基于矩估计的程序的起点，即使在样本量不太大的情况下，这些矩也可以表示统计特性。最近，在Rroji和Mercuri（2014a，b）中引入了一类新的分布，称为混合回火稳定分布（MixedTS）。背后的想法是推广正态方差-均值混合（NVMM），用回火S表分布代替正态性假设（Cont和Tankov，2003，见）。这样，新的分布克服了NVMM的一些限制。特别是，混合型DTS更容易捕捉更高的力矩，因为在NVMMS中，偏度的符号由漂移参数的符号给出，并且水平取决于混合随机变量和漂移参数，而在混合型DTS中，不对称性也取决于回火稳定分布的回火参数。对于峭度也有类似的论点，因为对于回火参数的特殊选择，混合物的尾部行为因半重（即。

尾部指数衰减为重衰减（幂律衰减），而NVMM的尾部行为仅取决于混合随机变量的尾部行为（有关尾部行为的完整讨论，请参见Barndor ff-Nielsen et al.，1982）。在这里，我们发现混合模型在财务回报建模中的优势，因为我们不需要事先知道是否必须考虑重分布或半重分布。本文的主要贡献是介绍了通过直接建模给定市场中的潜在因素来获取风险平价投资组合的一般设置。对于因子识别，我们采用《国际贸易术语解释通则》（1994）中引入的独立成分分析（IC A）。Hyvarinen等人（2001年）给出了该主题的详细信息和算法。利用独立分量分析（ICA）将观测信号分解为独立随机变量的能力，在该方法中，我们只需对每个单独的分量建模，因为通过该算法获得的混合矩阵捕获了因子的依赖结构。根据齐次函数的Euler-th-eorem，我们可以将齐次风险度量写为边际风险贡献的加权和，其中权重是对因素的敞口（参见Tasche，1999，获得完整的处理）。因此，风险平价投资组合是作为约束最小化问题的解决方案实现的，例如Maillard等人（2010）提出的。在本文中，我们关注三个标准的同质风险度量：波动率、价值风险（VaR）和预期缺口（ES）。特别是对于最后两项指标，我们考虑了Zangari（1996）提出的VaR修正版本和Boudt等人（2007）提出的ES修正版本。

这两种改进措施的想法是，基于前四个矩，考虑非精确分布的渐近展开，在我们的方法中，可以使用ICA方法并假设因子混合分布，很容易得出前四个矩。论文概要如下。在第2节中，我们简要回顾了风险平价法及其与其他投资组合优化方法的联系。第3节回顾了关于混合回火稳定分布的主要结果，而第4节则分析了使用修正VAR和修正ES进行投资组合优化的风险平价方法。第5节和第6节给出了本文的实证结果。2使用风险平价方法构建投资组合风险平价是一种分配风险而非资本的方法。它克服了标准方法的一些限制，例如均值-方差优化。事实上，正如Maillard等人（2010）所观察到的，均值-方差方法在实践中有两个缺点。首先，最佳投资组合似乎集中在少数资产上。其次，估计参数的微小变化会导致最优投资组合的相关修改，正如默顿（1980）所说，在投资组合预期回报估计的情况下，这种修改更为重要。为了避免这种稳定性的缺乏，研究人员提出了几种调节技术。最常用的是对Michaud（1989）提出的目标函数进行重采样，以及Ledoit和Wolf（2003）提出的协方差矩阵的收缩估计。在文献中，我们还发现了不需要收益估计的启发式方法，如等权（EW）、等风险贡献（ERC）或最小方差（MV）投资组合。通过这些方法，我们将约束直接放在投资组合权重上，不需要高级编程问题。

这些方法之间并没有完全的距离。例如，如果我们对所有因素具有相同的风险和相同的相关性，那么等权重投资组合可以被视为一种特殊的等风险贡献情况。表达投资组合收益的一种常见方法是将因子收益（F）与β中投资组合风险敞口的权重进行线性组合：r=β′F（1）识别影响投资组合收益的所有因子并非易事，但一旦我们在处理风险分析时获得了一个非常重要的概念，即定义的因子或资产类别对风险的边际贡献（MRCas：MRCi=R（R）βi（2）该数量代表我们的投资组合每增加一个单位暴露于第i因子的额外风险。特别令人感兴趣的是风险敞口的产品，其对风险的边际贡献称为总风险贡献（TRC）：T RCi=βiR（R）βi（3）TRC的使用使得风险归因更容易理解，因为它成为了风险在部分中的分割，这些部分是相加的，构成了投资组合的总风险。与其他投资组合优化规则一样，风险平价旨在确定满足特定标准的投资组合权重（或敞口）。在实践中，投资组合构建中考虑的每个因素的TRC必须相同。Maillard等人（2010年）建议进行以下最小化，以获得所需的权重：最小化βXNi=1NXj=1（T RCi- T RCj）受试者toNXi=1βi=1,0≤ βi≤ 1 i=1，N、 （4）不平等约束指的是无卖空条件。值得注意的是，优化问题中的目标函数在TRC不同时引入了apenalty。

这样，每个考虑因素的最终投资组合具有相似的TRC。3混合回火稳定分布在本节中，我们回顾了在Rroji和Mercuri（2014a）中介绍的混合回火稳定的主要结果，并研究了在单变量情况下计算风险度量的方法。在引入混合数据之前，我们从定义正态方差-均值混合数据开始。NVMM模型基于正态性假设，而我们试图推广这一概念。事实上，正态方差-均值混合物的形式为：Y=u+uV+σ√V Z（5），其中参数u，u∈ R 和Z~ N（0，1）。V连续分布在正半轴上。MixedTS背后的主要思想是用回火稳定度代替公式（5）中r.v.Z的正常消耗量，以确保新分布的灵活性。我们记得，回火稳定分布是通过将α-稳定的L'evydensity乘以递减回火函数得到的（Cont和Tankov（2003））。尾部行为可以从重到半重，以指数而不是功率衰减为特征，并确保常规矩的存在。Tweedie（1984）通过指数倾斜正稳定分布的尾部引入了单边回火稳定分布。Rosinski（2007）概括了回火稳定分布，并根据其L’evy测度对其进行了分类。通过这种推广，也可以得到以整个实轴为支撑的分布。K¨uchler and Tappe（2013）发现，在实轴上定义的回火稳定可以通过两个独立的单面回火稳定来获得。这种分布和相应的流程已广泛应用于金融领域（参见K¨uchler和Tappe，2014；Mercuri，2008，mo-deling asset retur ns和最近的教科书Rachev et al。

(2011)).在本文中，我们考虑了一个参数分布，即混合回火稳定的、公式化的资产收益率，并将其用于风险计算。我们说，如果：Yd=u+uV，则连续随机变量Y遵循混合回火稳定d分布+√V X（6），其中X | V~ stdCT S（α，λ+√V，λ-√V）是标准化的经典回火稳定分布（stdCT S K¨uchler和Tappe（2013））。V是定义在正轴上的不可整除分布，其m.g.f始终存在。m.g.f.的对数为：ΦV（u）=ln[E[exp（uV）]（7）我们计算新分布的特征函数，并应用替代期望定律：EeiuY公司= EhEheiu（u+uV+√V X）Vii=eiuuEhe[uu+LstdCT S（u；α，λ+，λ-)]Vi=eiuu+ΦV（uu+LstdCT S（u；α，λ+，λ-))（8） 特征函数确定了一个时变L'evyprocess中某一时刻的分布，并且该分布是可完全整除的。尽管从理论角度来看，这种分布具有很好的特征，但它允许s标准高阶矩不仅依赖于混合r.v，而且依赖于标准化的经典回火稳定d分布参数。

正如Rroji（2013）所观察到的，重要的是要有一个灵活的分布来适应不对称性和尾部垂度方面的差异。命题1:MixedTS的前四个矩有一个解析表达式，因为：E[Y]=u+uE[V]V ar[Y]=uV ar（V）+E[V]m（Y）=um（V）+3uV ar（V）+（2- α)(λα-3+-λα-3.-)(λα-2++λα-2.-)E[V]m（Y）=um（V）+6uEh（V- E（V））Vi+4u（2- α)λα-3+-λα-3.-λα-2++λα-2.-V ar（V）+（3- α)(2 - α)(λα-4++λα-4.-)(λα-2++λα-2.-)E[V]（9），其中m（）和m（）分别是第三和第四中心矩。有关力矩推导的详细信息，请参见附录A。使用这种分布的选择来自这样一个事实，如果我们假设V~Γ（a，σ），作为特例，我们有一些著名的收益模型分布。我们得到α=2的方差Gamma（Madan和Seneta，1990；Loregian et al.，2012），以及σ=√a和a进入实体。假设V~ Γ（a，σ）E[V]=aσV ar[V]=aσEh（V- E（V））Vi=Eh（V- E（V））i+E（V）V ar（V）=√aa3/2σ+aσEh（V- E（V））i=√aa3/2σEh（V- E（V））i=3+aaσ注释2，根据γr.v的标度特性，我们得到了σVd=σ▄Vwhere▄v~ Γ（a，1）和（6）中的定义可以写为：Yd=u+￠uИV+σp￠V￠X，其中￠u=uσ和￠X~ stdCT S（α，λ+σ√V，λ-σ√V）。

注意，在该公式中，混合分布与（5）中定义的NVMM具有相同的结构。对于单变量随机变量，一旦我们得到r.v Y的特征函数φY（t），就可以直接计算风险度量，因为我们使用基于反向傅立叶变换的公式计算其d分布函数FY（Y）：FY（Y）=-2πZ+∞-∞e-YφY（t）ITD置信水平α下的风险值通过反转分布函数获得：V arα（Y）=-FY（α）在假设e（Y）存在的情况下，使用以下公式计算预期短缺：eα（Y）=e[Y | Y≤ yα]=yα-αZyα-∞F（u）du在多元环境中，分布函数不能简单地获得，因为它基于一个捕获资产相关性的模型，并且需要计算多重积分。在下一节中，我们将介绍一种计算组合风险度量的方法，其中通过ICA分析重构资产的依赖结构，并通过混合分布对每个信号进行建模。4参数风险分解我们关注齐次连续可差分风险度量，对于这些风险度量，可以使用齐次函数的欧拉定理来确定风险贡献（更多详细信息，请参见Tasche，1999）。设R（R）为正齐次风险测度，应用欧拉定理，我们得到：R（R）=nXi=1βiR（R）βi=nXi=1T RCi（10），其中第i个风险因素的总风险分布为（见Tasche，1999）定义的不等式（3）。