[求助]关于严格拟凹函数？

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<P >以下内容选自：平新乔著《微观经济学十八讲》P310<o:p></o:p></P>
<P >在谈到需求函数的性质时，假定前提为：效用函数u<SUP>i</SUP>(x)在定义域R<SUP>n</SUP><SUB>+</SUB>上是连续的，严格递增并且严格拟凹的。<o:p></o:p></P>
<P >什么是严格拟凹？<o:p></o:p></P>
<P >［定义］严格拟凹函数：f：D→R是严格拟凹函数，当且仅当，对于所有的x<SUP>1</SUP>，x<SUP>2</SUP>∈D，都有<o:p></o:p></P>
<P >f（tx<SUP>1</SUP>+(1-t)x<SUP>2</SUP>）＞min｛f(x<SUP>1</SUP>), f(x<SUP>2</SUP>)｝<o:p></o:p></P>
<P >对于所有的t∈［0,1］<o:p></o:p></P>
<P >严格拟凹函数是说，从定义域内取任两点作一凸组合，则函数在该凸组合的值大于f(x<SUP>1</SUP>)与 f(x<SUP>2</SUP>)中小的那个函数值。<o:p></o:p></P>
<P ><o:p> </o:p></P>
<P >我的问题有两个：<o:p></o:p></P>
<P >1、如果t∈［0,1］是闭区间，那么是不是不能保证结论中的＞号的成立，而应当改为≥？<o:p></o:p></P>
<P >2、严格拟凹函数的图象是什么样的？比如y=x，y=lnx，和y=e<SUP>x</SUP>，三个函数是不是都符合上述的严格拟凹的定义？<o:p></o:p></P>

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关键词：微观经济学十八讲 经济学十八讲 微观经济学 微观经济 我的问题 经济学 定义域

个人觉得不能写为t∈［0,1］，否则不能剔除两个端点值与自身相等的情况，同时也检验不出凸组合中的情况。

严格拟凹图像只要两端点间（不包括端点）自变量的函数值大于端点函数值的最小那个就行了，注意不能等于。

y=x，y=lnx，y=e^x都符合

严格拟凹的时候t∈(0,1)

任何一个严格单调递增的函数都是符合严格拟凹的，反之未必

应该是这样的：

［定义］拟凹函数：f：D→R是拟凹函数，当且仅当，对于所有的x¹，x²∈D，都有

f（tx¹+(1-t)x²）＞=min｛f(x¹), f(x²)｝

对于所有的t∈[0,1］

［定义］严格拟凹函数：f：D→R是严格拟凹函数，当且仅当，对于所有的x¹，x²∈D，都有

f（tx¹+(1-t)x²）＞min｛f(x¹), f(x²)｝

对于所有的t∈(0,1)

上面的两种定义通常来讲就够用了

想进一步了解，参见Takayama的Analytical Methods in Economics，其中仔细的把凹性分成了4种

对于 Strictly Quasiconcave的严格定义应该是：

（1）upper contour 是 Convex 的；

（2）t的区间是开区间；

（3）不等式是大于号，而不是大于等于号。

对第4楼略补一条：定义域是convex。

以上的各楼：请补充说明：

1、请举例说明或者从我说的几个函数中选择出你认为是严格拟凹的函数。

2、说明你的定义的来源出处。

以上的各楼回答均不错，本人特别感激。我是自学经济学的，看平新乔的书着实有点儿费劲，看了一年了，才看这么一点儿，请大家多帮忙。每个人都可以得到相应的回报：金币、金钱等。

谢谢。

以下是引用万岁大中华在2006-10-8 15:51:00的发言：

以上的各楼：请补充说明：

1、请举例说明或者从我说的几个函数中选择出你认为是严格拟凹的函数。

2、说明你的定义的来源出处。

以上的各楼回答均不错，本人特别感激。我是自学经济学的，看平新乔的书着实有点儿费劲，看了一年了，才看这么一点儿，请大家多帮忙。每个人都可以得到相应的回报：金币、金钱等。

谢谢。

上面几位高手把定义说得很详细了 我是今年刚上经济学的研究生 转专业的

在Jehle和Reny的高级微观经济理论这本书中 是这样定义的

Strictly Quasiconcave Functions:

定义在实数集R上的函数f是Quasiconcavede ,当且仅当对于在消费集D上的两消费束x¹，x² 有f(x^t)>min[f(x¹),f(x²)]成立

其中t∈(0,1)。

我想问的是拟凹的函数，在高级微观中常用来解释这样一个事实，即对于一个拟凹的效用函数，其存在唯一的极值的问题

这是它的性质吗 书上只是说可以这样 但并没说为什么

而且一个效用函数如果是拟凹的 其递增和递减的图象是如何得来的呢 在上海财经版的高级微观理论书中448页的拟凹图象怎么理解呢

第一次发帖 希望大家多帮助

四楼加五楼的回答，是general的，适用于任何情况。

要说到拟凹的图形，就自变量是一维的函数来说，只要这个图形，在整个定义域范围内，不存在向自变量坐标轴凸的沟，说白了，没有沟，就是拟凹。

严格拟凹，不单单没有沟，还要做到整条线上，所有处，不是严格递增就是严格递减。注意，不相邻处，不论距离多短，是可以相等的，因为虽然没有沟，可以有山峰阿！

二维三维也是这样，不过是把线换成面而已。

问下9楼的

你刚才的关于图形的说法很有意思 也好理解

但什么叫不相邻处，不论距离有多短，是可以相等的

不是太理解 谢谢 达人帮助下