多元回归遗漏变量的偏误，为什么x1与x3无关，x2与x3相关，beta1的估计量是有偏的？

对不起我题干还没有打完就直接点回车了，我再评论里面把题目打完吧：
假设yi=beta0帽+beta1帽x1+beta2帽x2+beta3帽x3+ei，
此时遗漏变量x3，x1与x3无关，x2与x3相关，
变成yi=beta0波浪+beta1波浪x1+beta2波浪x2+wi

根据伍德里奇P92页证明（图1-1），beta1（遗漏）=beta1（不遗漏）+beta3（不遗漏）*x1对x3的偏效应.
而根据弗里施-沃定理（图1-2），在图1-1的3.68式下第2行Beta k后面的delta1应该是（x3对x2回归的残差 对 x3对x1回归的残差 做ols最小二乘法得到的x3对x1回归中x1的偏效应）。

问题来了：明明得到的这个delta1无论是x3还是x1都是是排除了x2的影响的，此时x3和x1无关理应delta1等于0，所以beta1波浪是无偏估计，而书上却说“一般来说beta1波浪和beta2波浪都是有偏的”，也不给出证明，这是什么意思呢？
问题来了：

有没有大神可以帮忙回答一下{:0_278:}

首先要区分核心解释变量和控制变量。
控制变量的作用是，克服OVBs而设置的，保证核心解释变量和随机误差项不相关；此时，核心解释变量的系数满足无偏性。而控制变量允许与随机误差项相关，其系数是有偏的，故不予解释；同时，也允许控制变量的系数不显著。

x3是遗漏因素，则说明在初始模型设里头，它是属于随机误差项，但又与核心解释变量相关。这里假设核心解释变量是x1与x2。
在分别回归时，除非系数为零，x3与x1不相关，说明x3不是x1的遗漏因素；否者beta(j)都是有偏的。这不需要额外证明啊。弄清楚遗漏偏误的性质就可以明白了。

李嘉冉 发表于 2022-10-22 22:53

李子奈的计量经济学教材有讲

我也看到这里了，但我认为伍德里奇这样说不对，因为没有控制x3，打开了x1与y的后门路径，确实会使得相关解释变量x1的系数估计有偏，此时如果x1与x2相关（而x2与x3不相关）的话，我认为不会导致x2系数的有偏性，因为x2的系数反映的是剔除了x1的影响（干扰）的净效应，即模型中控制了x1的不变，阻断了“遗漏x3从而打开x1与y的后门路径进而打开x2与y的后门路径”，所以x2的系数不会有偏。这是我的理解，还望指正。

李嘉冉 发表于 2022-10-23 13:43
有没有大神可以帮忙回答一下

你有答案了吗？