耶鲁开放课homework讨论——Zermelo th solution

说一点零散的思路吧，可能有不对的地方，欢迎指出来

1. 易证2*3的矩阵先手必胜（他只需第一步移动东北角的那个石头）; 递归容易看出2*n（n>3）时先手也必胜（他第一步任然取东北角那个石头）

2. 注意到只要还有其他石头存在，两人都不会去碰左下角的四个石头：(m,1) (m-1,1) (m-1,2) (m,2).  胜负在这之前就会决出。所以，从(m,1) 向右上方引45度射线，如果1号某一步之后形成的格局是关于这条线对称的，那么2号便输了。实际上，如果2号尽量推迟他输的时间，那么要让2号最后拿（m,1），仅当1号能在某步达成对称格局才可以！所以如果说先手能赢的话，一定是先手可以先达到对称格局。

考一考楼主，把这个游戏稍作改变，现在这些石头放在三维空间中构成n*n*n的立方体，选中的石头及它东北方和后方的石头会被移除。问：先手有必胜策略没？

关于原题目的解法，我想还是不好直接递归，因为要考虑的类型比较多，不妨考虑反证法。

证明：假设后手有制胜策略，那么先手第一步选择左上角的那个石头，然后后手会用他的制胜策略选择一个石头；如果是这样，那么先手可以第一步就选择这个石头，这就等于他把自己变成了后手。然后他依照后手的制胜策略就可以获胜，与原假设矛盾。所以后手没有制胜策略，即先手有制胜策略。

但是这并没有告诉我们具体的制胜策略应该怎么走；具体的制胜策略走法还是要靠递归来做，这只能交给电脑来算了。

逆向归纳!

longlongago。。。。。我的结论：首先，m=n=1  后手赢。其余，先手胜。
原因：归纳法，首先可知若M=N≠1，则先手必胜；另外有，第一，若只有一行或一列，且m*n≠1，则先手必胜；第二，若有L型存在，即剔除到最后只剩余一行和一列时，且行和列不等，则先手必胜。（所谓先手必胜，则说明以上图形中后手选择必定会拿到最后一颗石头）。
另外，可知，任何N*M的点矩阵，都可以拆分成以上三种形状的点，即：— L  □ 。
则根据以上已知内容，先手方只要以以上三种形状的点为基础进行取点，则每消除以上一个图形必定会得到下一个图形的先手取点权。而对于后手方，无论如何行动，在每一个拆分的小图形中的最后一点必定为自己拿到，因此，后手必定会拿到以上组合图形的最后一个点。
故，只要N*M不等于1，则先手方必胜。