统计学极简入门——数据分布

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3. 数据分布

t分布、F分布和卡方分布是统计学中常用的三种概率分布，它们分别用于样本均值的推断、方差的比较和数据的拟合优度检验。

总之这3个分布很有用，首次接触你可能理解不了，但没关系你知道很重要就行了，接着往下看，我们在介绍三大分布之前，先看一下正态分布和标准正态分布：

正态分布（Normal Distribution）

正态分布也被称为高斯分布，是统计学中最常见的概率分布之一。

正态分布具有钟形曲线的特征，均值和标准差是其两个重要的参数。

import numpy as np
import seaborn as sns

mean = 3  # 均值
std = 4  # 标准差
size = 1000  # 生成1000个随机数

data = np.random.normal(mean, std, size=size)
sns.histplot(data, kde=True)

标准正态分布（Standard Normal Distribution）

标准正态分布是一种特殊的正态分布，其均值为0，标准差为1。在统计学中，标准正态分布经常用于标准化数据或进行假设检验。

import numpy as np
import seaborn as sns

size = 1000  # 生成1000个随机数

data = np.random.standard_normal(size=size)
sns.histplot(data, kde=True)

t分布（t Distribution）

t分布是一种概率分布，用于小样本情况下对总体均值的推断。当样本容量较小或总体方差未知时，使用T分布进行推断更准确。T分布的形状类似于正态分布，但尾部较宽。T分布的自由度（degrees of freedom）决定了其形状。

import numpy as np
import seaborn as sns

df = 10  # 自由度
size = 1000  # 生成1000个随机数

data = np.random.standard_t(df, size=size)
sns.histplot(data, kde=True)

F分布（F Distribution）

F分布是一种概率分布，用于比较两个样本方差的差异。F分布常用于方差分析和回归分析中。F分布的形状取决于两个自由度参数，分子自由度和分母自由度。

import numpy as np
import seaborn as sns

dfn = 5  # 分子自由度
dfd = 10  # 分母自由度
size = 1000  # 生成1000个随机数

data = np.random.f(dfn, dfd, size=size)
sns.histplot(data, kde=True)

卡方分布（Chi-Square Distribution）

卡方分布是一种概率分布，用于检验观察值与理论值之间的拟合优度。卡方分布常用于拟合优度检验、独立性检验和方差分析中。卡方分布的自由度参数决定了其形状。

import numpy as np
import seaborn as sns

df = 5  # 自由度
size = 1000  # 生成1000个随机数

data = np.random.chisquare(df, size)
sns.histplot(data, kde=True)

番外篇：三大分布互相推导

注：本节作为延伸阅读，初学者简单了解即可

十九世纪中叶至二十世纪初，有三位统计学届杰出代表： 皮尔逊( Pearson) 、戈塞特( Gosset) 、费希尔( Fisher) 表，他们是统计学三大分布的始创者。

• 皮尔逊(Pearson) 在创立拟合优度理论的过程中发现了 $χ^2$ 分布;

• 戈塞特( Gosset) 发现 $t$ 分布的过程正是 小样本理论 创立的过程;

• 费希尔( Fisher) 在创立 方差分析 理论的过程中发现了 $F$ 分布。

这便是著名的三大抽样分布包括:$\chi^2$ 分布、$t$ 分布和 $F$ 分布

$\chi^2$ 分布是由$n$个相互独立的标准正态分布 $N(0,1)$ 的平方和确定的分布，记作
$\chi^2$ ~ $χ^2(n)$ ，即

$\chi^2=\sum_{i=1}^n(N(0,1))_i^2 \sim \chi^2(n)$

$t$ 分布的分子是一个 $N(0,1)$ ，分母是自由度为 $n$ 的$χ^2$ 分布与自由度 $n$的比值再开方确定的分布，记作$t$ ~ $t(n)$ ，即

$t=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(n)/n}}\sim t(n)$

$F$ 分布是由两个 $\chi^2$ 分布与其自由度比值的比值确定的分布 ，记 作 $F$ ~ $F (n_1，n_2)$ ，即

$F=\frac{\chi^2\left(n_1\right) / n_1}{\chi^2\left(n_2\right) / n_2} \sim F\left(n_1, n_2\right)$

三大分布的推导

三大分布的推导例题

下期预告：《Python统计学极简入门》第4节 区间估计

点击下方链接，观看下期内容。
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关键词：数据分布 统计学 distribution Standard pearson