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最速降线与等时曲线本质是同一个问题
于德浩 2024.6.27
最速降线，是滚轮线，也称旋轮线，摆线，恰巧也是等时曲线。为什么会这么巧合呢？如果从A点滑落到B点，要找那条降落最快的曲线。我们可以根据泛函分析，用欧拉拉格朗日方程严格求解，令一阶导数为零，即T’(ε)=0, ε=0时，求极小值最优解。列出微分方程y*(y’^2+1)=λ；再解方程，就得到了这个曲线方程。即，y=R*(1-cosα), x=R*(α-sinα)。
一般的泛函分析是，初态x1与末态x2确定，求这个拉氏量L泛函积分的最小作用量。我们令一般函数ybar=y+ε*η，再根据极值条件T’(ε)=0, ε=0时就得到约束方程，拉格朗日方程，从而解出最优解y（x）。
等时曲线问题是，求一条曲线，从任意一点滑落至该曲线底部时，用时都一样。这与我们的普通泛函分析不太一样。这似乎不是一个求极值问题。当然，我们依然可以列出这个积分算式，只是初态是x1，但末态未知，我们以xbbar表示。我们还用基本的变分法，ybar=y+ε*η。这样，积分算式T依然是ε的函数。
这里有一个“用时相等”的约束条件。就是说，当ε=0时，T（ε）=C，是常数，那么一阶导数就是T’（ε）=dC/d ε =0。这与“求极小值”时，导数为0，可谓异曲同工之妙。所以，后面解法按部就班，与“最速降线”问题完全一样了。因此，解出的最优解当然也是滚轮线方程。
关于滚轮线方程，400年前的伽利略早就知道了。伽利略不愧是一代大科学家，在当时还没有微积分数学工具时，他能估算出滚轮线一个周期的面积是滚轮面积的3倍大。他用一个铁片圆，在竖直平面上滚出旋轮线的轨迹。然后，比照轨迹形状，剪一块铁片；称重这块滚轮线铁片与铁片圆的比值。
伽利略最早提出了最速降线问题，但他不知道更不能证明恰好就是滚轮线。伽利略也研究过单摆周期，但圆弧线并不是严格的等时性。大约40年后，惠更斯发现了摆线具有严格的等时性。摆线就是滚轮线，只是图像倒过来。但，此时人们并不知道最速降线也是摆线。
大约又30年后，在1696年，约翰伯努利，正式解决了最速降线问题。但从严格数学解析解的意义上，欧拉和拉格朗日才彻底解决。也就是，通用的泛函分析变分法，才能让我知道，原来“最速降线”与“等时曲线”本质是一回事。
从一般物理常识来言，关于“最速降线”问题，人们知道应该是有解且有唯一解的。因为，就是调一下前半段与后半段轨道的斜率而已。若是特殊曲线，有且唯一，我们首先想到的就是直线。后来，发现曲线更快。那么，再特殊且唯一的曲线就应该是滚轮线了。因为，过两点的曲线有很多条，即使是抛物线或圆弧线，也有很多不同的抛物线和圆弧线，所以一定不是“唯一”的。而滚轮线是唯一的，AB两点即可确定。只要确定初始点及滚轮的半径即可。所以，若要猜想唯一特殊的曲线，非滚轮线莫属。只是，后面怎么去证明的问题了。
而对于“等时曲线”问题，这个不好猜。因为，可能这个解本就不存在；而且也有可能不止是一种曲线，可能有好几个解。不过，大自然的一般规律可能就是“存在且唯一”。从历史看，也是人们先找到了等时曲线，再找到最速降线。
现在，根据欧拉和拉格朗日的泛函分析理论，可以把最速降线或者等时曲线推导出来，这是严谨的数学理论证明。就是说，人们不需要再实验上去找可能的第二条最速降线或等时曲线了。就像能量守恒定律论证以后，就不必再尝试造“永动机”了。
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