几个常用特殊函数曲线的质心问题求解

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            几个常用特殊函数曲线的质心问题求解

                  于德浩  2024.7.1

本文主要目的是简单验证一下，悬链线函数的质心坐标yC最低。因为，泛函分析的最小作用量原理，是假设重心最低，势能最小，去推导出悬链线方程的。

悬链线整体质量系统，若要满足质心y最低，那么就有极值条件的欧拉-拉格朗日方程的约束条件，得到微分方程y/（1+y’^2）^0.5=a，从而解出y=a*ch（x/a）=a/2*(e^(x/a)+e^(-x/a))。

我们先看一下半圆弧的质心。A（-1,0），B（1,0），绳长是π=3.14米。显然，这个圆方程是y=-（1-x^2）^0.5。根据前面三个约束条件，我们可以定出圆心是（0,0），半径R=1米。这里需要用到函数曲线弧长公式，l0=∫dl=∫(1+y’^2)^0.5*dx。质心坐标公式，yC=∫y*dm/∫dm=∫y*ρ*dl/∫ρ*dl。对于质心坐标xC，则根据对称性，显然在x=0的对称轴上。具体计算见上图。可以计算出下半圆弧的质心坐标是（0,-2/π），最底部坐标（0，-1）。

比较一下悬链线的质心。我们同样设定两个悬挂点A（-1,0），B（1,0），半绳长l0=π/2=1.57米。悬链线的弧长积分，半绳长l0=∫dl=a*sh（x0/a）=a/2*（e^(x0/a)-e^(-x0/a)）。还有B点约束条件，0= a/2*（e^(x0/a)+e^(-x0/a)）+C2。我们就可以定出参数a=0.58，C2=-1.68米。从而计算出质心是（0，-0.655），最底部（0，-1.10）。这里，我们看到，悬链线的底部比圆弧线更低，质心yC也比圆弧线更低。

我们看一下两条直线的重心。也就是，蹬直绳子，形成底部三角形。A（-1,0），B（1,0），半绳长还是π/2。根据勾股定理，直线与Y轴交点是-((π/2)^2-1^2)^0.5=-1.21米。所以，两条直线方程是y=-1.21*x-1.21，及y=1.21x-1.21。根据对称性，我们很容易得知质心坐标是（0，-0.605），最底部是（0，-1.21）。这里直线的底部更低，可重心却比悬链线更高。从物理学上解释就是，需要用力下拉做功，这就使得整体绳子系统能量增加，故势能增加，重心升高。

再看一下滚轮线质心。滚轮线也称为时钟摆线，等时曲线，最速降线。旋轮线是更特殊的曲线，只需要两个约束条件,y=R*(1-cosα)，x=R*（α-sinα）。我们选定A（0,0），B（2πR，0）。这就能计算出滚轮线总长度是8R。质心xC显然也在对称轴上，即xC=π*R；质心yC=4R/3。方便比较我设定R=0.5米，那么质心就是（π/2,0.67），顶（π/2,1）。比较悬链线的质心高度，设定A（-1.57,0），B（1.57,0），半绳长l0=2米。根据前面的步骤，我们定出，a=1.28，C2=-2.37。所以，悬链线质心是（0，-0.688），最底部是y（0）=a+C2，即（0，-1.09）。显然，还是悬链线的质心位置更低。

    看一下抛物线的质心。抛物线的弧长积分比较复杂，这里需要用到变量代换，x=shθ。简单起见，我们设定抛物线方程为y=x^2/2-1；这里，A（-√2,0），B（√2,0），半绳长l0=1.80米。我们计算出抛物线质心是（0，-0.614），底（0，-1）。比较悬链线，我们定出参数a=1.15，C2=-2.136。再得到悬链线质心是（0，-0.616），底（0，-0.986）。还是悬链线重心最低，但很接近抛物线了。

质心是宏观物体系统的“中心代表”，所以，应该在物体的对称轴上。质心有且仅有一个，是两根对称轴的交点。也就是，物体的所有对称轴必然会交于一点。从质心的形成来看，一个大系统的各微元组分，会在外力势场的作用下，进行有序排列，因此会形成超对称的球形。

在重力场，竖直平面，显然悬挂的绳子，只能有一种曲线形状，这就是大自然一般规律的“存在且唯一”。若要改变函数曲线形状，那么只能施加外力。在水平面xoy，由于支持力抵消了重力，所以，我们可以摆弄出各种自由散漫的弯弯曲曲的绳子形状。在限定绳子两端坐标及绳长时，这些绳子曲线的质心都各不相同，但都要比悬链线的质心y坐标更高。

最后，我们再思考一下。如果，我们在悬链线绳子的底部施加一个向右的水平方向力F1，尽量使得左侧绳子蹬直，那么现在的绳子曲线函数是什么？

（定性来看，既然有外力向右，那么质心坐标x就应该右移；但竖直方向没有做功，所以整体绳子的质心y坐标应该不变。整体绳子曲线函数肯定不是悬链线了，因为三个约束条件没变；若还是整体悬链线，则方程应该不变；可形状已经明显改变了。不过，既然还是绳子悬挂，就还是物理的悬链线，右边绳子应该还是悬链线，只是参数都不一样了。左侧绳子就是直线，或者是别的悬链线。这应该是分段函数了。）

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关键词：特殊函数 问题求解 约束条件 泛函分析 微分方程