数学分析习题练习【谢绝回贴】

中国人大2024数学分析



**问题重述：**  
设函数 \( f(x) \), \( g(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，且 \( f(x) \) 严格递增，\( 0 \leq g(x) \leq 1 \)。证明：  

\[
\int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx \geq \int_{a}^{a + \lambda} f(x) \, dx,
\]  

其中 \(\lambda = \int_{a}^{b} g(x) \, dx\)。  

---

**证明：**  

1. **定义辅助量：**  
   由于 \( 0 \leq g(x) \leq 1 \)，记 \(\lambda = \int_{a}^{b} g(x) \, dx\)，显然有 \( 0 \leq \lambda \leq b - a \)。  

2. 构造辅助函数：**  
   定义函数 \( h(t) = \int_{a}^{t} g(x) \, dx - (t - a) \)。  
   - 求导得 \( h'(t) = g(t) - 1 \leq 0 \)，故 \( h(t) \) 在 \([a, b]\) 上单调递减。  
   - 注意到 \( h(a) = 0 \)，且 \( h(b) = \lambda - (b - a) \leq 0 \)。  

3. 确定关键点 \( c \)：**  
   由单调性和介值定理，存在唯一的 \( c \in [a, b] \) 使得 \( h(c) = 0 \)，即：  
   \[
   \int_{a}^{c} g(x) \, dx = c - a.
   \]  
   此时，剩余部分的积分为：  
   \[
   \int_{c}^{b} g(x) \, dx = \lambda - (c - a).
   \]  

4. 拆分并放缩积分：**  
   将目标积分拆分为两部分：  
   \[
   \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x)g(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x)g(x) \, dx.
   \]  
   - 在 \([a, c]\) 上，因 \( f(x) \) 严格递增，\( f(x) \leq f(c) \)，故：  
     \[
     \int_{a}^{c} f(x)g(x) \, dx \geq f(a) \int_{a}^{c} g(x) \, dx = f(a)(c - a).
     \]  
   - 在 \([c, b]\) 上，\( f(x) \geq f(c) \)，故：  
     \[
     \int_{c}^{b} f(x)g(x) \, dx \geq f(c) \int_{c}^{b} g(x) \, dx = f(c) \left( \lambda - (c - a) \right).
     \]  

5. 结合不等式：**  
   综合上述结果，有：  
   \[
   \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx \geq f(a)(c - a) + f(c) \left( \lambda - (c - a) \right).
   \]  
   当 \( c = a + \lambda \) 时，右式恰为 \( \int_{a}^{a + \lambda} f(x) \, dx \)，此时不等式取等。  

6. **结论：**  
   由于 \( f(x) \) 严格递增，原不等式成立，即：  
   \[
   \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx \geq \int_{a}^{a + \lambda} f(x) \, dx.
   \]  

中国人大2024数学分析



解：

1. **曲线积分与路径无关的条件：**  
   曲线积分 \( \int_L P \, dx + Q \, dy \) 与路径无关的充要条件是 \( \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \)。  
   在本题中，\( P = 2xy \)，\( Q = f(x, y) \)，因此需要满足：  
   \[
   \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial (2xy)}{\partial y} = 2x.
   \]  
   这意味着 \( f(x, y) \) 对 \( x \) 的偏导数为 \( 2x \)，因此可以表示为：  
   \[
   f(x, y) = x^2 + g(y),
   \]  
   其中 \( g(y) \) 是仅关于 \( y \) 的函数。

2. **验证给定等式：**  
   题目要求对于任意 \( t \) 都有：  
   \[
   \int_{(0, 0)}^{(1, 1)} 2xy \, dx + f(x, y) \, dy = \int_{(0, 0)}^{(1, 0)} 2xy \, dx + f(x, y) \, dy.
   \]  
   由于积分与路径无关，可以选择简单的路径进行计算。  
   - 从 \( (0, 0) \) 到 \( (1, 0) \) 的路径：沿 \( x \)-轴（\( y = 0 \)），此时 \( dy = 0 \)，积分为：  
     \[
     \int_0^1 2x \cdot 0 \, dx + f(x, 0) \cdot 0 = 0.
     \]  
   - 从 \( (0, 0) \) 到 \( (1, 1) \) 的路径：先沿 \( x \)-轴到 \( (1, 0) \)，再沿 \( y \)-轴到 \( (1, 1) \)。  
     - 沿 \( x \)-轴部分（\( y = 0 \)，\( dy = 0 \)）：  
       \[
       \int_0^1 2x \cdot 0 \, dx + f(x, 0) \cdot 0 = 0.
       \]  
     - 沿 \( y \)-轴部分（\( x = 1 \)，\( dx = 0 \)）：  
       \[
       \int_0^1 2 \cdot 1 \cdot y \cdot 0 + f(1, y) \, dy = \int_0^1 f(1, y) \, dy.
       \]  
     因此，总积分为：  
     \[
     \int_{(0, 0)}^{(1, 1)} 2xy \, dx + f(x, y) \, dy = \int_0^1 f(1, y) \, dy.
     \]  
   根据题目要求，有：  
   \[
   \int_0^1 f(1, y) \, dy = 0.
   \]  
   代入 \( f(x, y) = x^2 + g(y) \)，得：  
   \[
   \int_0^1 (1 + g(y)) \, dy = 0 \implies \int_0^1 g(y) \, dy = -1.
   \]  
   这意味着 \( g(y) \) 的积分值为 \( -1 \)，但题目要求对于任意 \( t \) 都成立，因此需要更强的条件。  

3. **进一步分析：**  
   题目描述中“对 \( vt \) 都有”可能有笔误，可能是“对任意路径”或“对任意 \( t \)”。假设要求对于任意路径的积分值相等，则需进一步限制 \( g(y) \)。  
   由于积分与路径无关，且从 \( (0, 0) \) 到 \( (1, 0) \) 的积分为 0，因此从 \( (0, 0) \) 到 \( (1, 1) \) 的积分也应为 0。  
   由 \( f(x, y) = x^2 + g(y) \)，计算从 \( (0, 0) \) 到 \( (1, 1) \) 的积分：  
   - 沿直线 \( y = x \)（参数化为 \( x = t \)，\( y = t \)，\( t \in [0, 1] \)）：  
     \[
     \int_0^1 2t^2 \, dt + (t^2 + g(t)) \, dt = \int_0^1 (3t^2 + g(t)) \, dt.
     \]  
     根据题意，该积分等于 0：  
     \[
     \int_0^1 (3t^2 + g(t)) \, dt = 0 \implies \int_0^1 g(t) \, dt = -1.
     \]  
   这表明 \( g(y) \) 的积分值为 \( -1 \)，但无法唯一确定 \( g(y) \)。可能需要补充条件或修正题目描述。

4. **可能的修正：**  
   如果题目要求的是“对于任意 \( t \)，积分值相等”，可能需要 \( g(y) \) 为常数。设 \( g(y) = C \)，则：  
   \[
   \int_0^1 C \, dy = C = -1 \implies g(y) = -1.
   \]  
   因此，\( f(x, y) = x^2 - 1 \)。

验证

取 \( f(x, y) = x^2 - 1 \)：  
- 检查与路径无关的条件：  
  \[
  \frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial (2xy)}{\partial y} = 2x,
  \]  
  满足 \( \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial (2xy)}{\partial y} \)。  
- 计算从 \( (0, 0) \) 到 \( (1, 1) \) 的积分（沿 \( y = x \)）：  
  \[
  \int_0^1 2t^2 \, dt + (t^2 - 1) \, dt = \int_0^1 (3t^2 - 1) \, dt = \left[ t^3 - t \right]_0^1 = 0.
  \]  
- 从 \( (0, 0) \) 到 \( (1, 0) \) 的积分（沿 \( y = 0 \)）：  
  \[
  \int_0^1 0 \, dx + (x^2 - 1) \cdot 0 = 0.
  \]  
  满足题目要求。

求极限$\lim_{n\to+\infty }(\int_{1}^{2}\ln x\cdot \cos ^2(nx)dx)$

解：
\begin{align*}I&=\lim_{n\to+\infty }(\int_{1}^{2}\ln x\cdot \cos ^2(nx)dx)\\
&=\lim_{n\to+\infty }(\int_{1}^{2}\ln x\cdot \frac{\cos 2nx+1}{2}dx)\\
&=\frac{1}{2}\lim_{n\to+\infty }(\int_{1}^{2}\ln x\cdot(\cos 2nx+1)dx)\\
&=\frac{1}{2}\lim_{n\to+\infty }\int_{1}^{2}\ln x\cdot\cos 2nx dx+\frac{1}{2}\lim_{n\to+\infty }\int_{1}^{2}\ln xdx\\
&=\frac{1}{2}\lim_{n\to+\infty }\int_{1}^{2}\ln x\cdot\cos 2nx dx+\ln2-\frac{1}{2}.
\end{align*}
\begin{align*}\frac{1}{2}\lim_{n\to+\infty }\int_{1}^{2}\ln x\cdot\cos 2nx dx
&=\frac{1}{2}\lim_{n\to+\infty }\int_{1}^{2}\ln x\cdot\frac{\cos 2nx}{2n} d(2nx)\\
&=\frac{1}{2}\lim_{n\to+\infty }[\ln x\cdot\frac{\sin 2nx}{2n} |_1^2-\int_{1}^{2}\cdot\frac{\sin 2nx}{2nx} dx]\\
&=-\lim_{n\to+\infty }\frac{1}{4n}\int_{1}^{2}\cdot\frac{\sin 2nx}{x} dx\\
&=0.
\end{align*}
$$\therefore I=\ln2-\frac{1}{2}.$$

求反常积分$$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\frac{\sin x}{x}dx.$$

解：令\[I(\alpha )=\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x}\frac{\sin x}{x}dx.\]
          \begin{align*}I'(\alpha )
&=-\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x}\sin xdx\\
&=e^{-\alpha x}\cos x|_0^{+\infty}+\alpha \int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x}\cos xdx\\
&=1+e^{-\alpha x}\sin x|_0^{+\infty}-\alpha ^2\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x}\sin xdx\\
&=\frac{1}{1+\alpha ^2}.
\end{align*}
          \[\therefore I(\alpha )=-\arctan \alpha +C.\]
           又原积分\[\lim_{\alpha \to+\infty }I(\alpha )=0=-\frac{\pi }{2}+C.\]\[\Rrightarrow C=\frac{\pi }{2}.\]
           \[\therefore I=I(1)=-\arctan 1+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}.\]