基础数学讨论：极限是建立在可数无穷基础之上

seekts 发表于 2011-11-24 18:37
以任意精度逼近不是极限的意思，极限值存在的话，极限就是精确的，例如微积分，如果积分存在的话，结果就 ...

极限的定义是这样的，数列极限定义为：任给一个正数E，总存在一个N，在N之后的每一项Xn(n>N）都满足|Xn-a|<E,则称a是数列｛Xn}的极限。
现在，你只需要将所有的小于1/sqrt(2)的二进制数（它们可以用上面的分点表示）当成一个数列，其极限就是这个无理数。无理数就是无穷不循环小数。也就是说，这个无理数肯定可以用一个无穷不循环的二进制小数来表示的。而这个无穷不循环的二进制小数，理论上你只要将上述分割进行可数无穷次就可以得到了。在实数的定义中，戴德金是将有理数轴进行分割来定义实数的，还有用有理数列来定义实数的。实际上，上述分点过程，就是用一个有理数列，这里是一个有限二进制小数列，来定义实数。因此，你说的那个实数，本来就是用一个无穷项的有限二进制小数列来定义的，既然是如此定义，当然也就在某一个无穷步后的分点上了。当然，这里有点问题的只有一个，即，你说那个无理数定义为一个二进制分点的序列，而我说的是无穷步次后的一个分点。但是，从单调有界数列必有极限的意义上讲，这二者应该是等价的。因为总是可以找到一个单调递增的二进制小数列，其极限就是你说的那个无理数。这个极限，也就是这个数列的无穷远项。

还是先学习一下实数系6大定理,和实数的构造理论吧.

极限似乎只需要在实数的一个稠密子集上运行就可以了。