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| 校园浴室定价的经济学分析：一个定价分析模型 王 非 | ||
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| 【作者简介】 北京大学中国经济研究中心2005级研究生 【内容提要】 本文通过构建和求解一个大学校园浴室的定价模型，分析了两种定价模式下的定价机制，得出了校园浴室应依据成本加成定价且按洗浴人次数的价格弹性进行差异化定价的结论；并通过对两种定价模式下洗浴者的消费者剩余和浴室的生产者剩余的比较，得出了计时定价模式比人次定价模式有效的结论；通过结合实际，进一步讨论了一些可能存在的情况，提出了相应的建议并试图将模型一般化。 浴室如何定价是许多大学面临的问题，也是许多大学生经常讨论的话题。本文试图通过一个经济学的定价模型，对校园浴室的定价模式进行初步的经济学分析。全文共分七部分。第一部分对商品定价的基础理论进行简要回顾；第二部分通过给出校园浴室的相关背景信息和假设，界定了定价模型的讨论范围；第三部分建立并求解了校园浴室的定价模型；第四部分通过对求解结果的分析，得出两个主要结论；第五部分结合实际情况，对模型进行进一步的讨论；第六部分总结全文，提出建议；第七部分将模型一般化。 一、相关基础理论的简要回顾 价格是微观经济学的核心，商品价格的决定理论一直贯穿于微观经济学发展的全过程，并占有相当重要的地位。 市场结构对于商品价格的决定具有重要影响。Cournot, A.A（1838）最早解释了市场结构对价格的影响，其中既包括完全竞争市场均衡价格的决定，又包括完全垄断市场上商品的边际收益与边际成本相等时价格的决定理论，Marshall, A（1920）集之大成并发扬光大。此外，Cournot还分析了双寡头市场的定价法则，而Bertrand, J（1883），Stackelberg, H.V（1934）对双寡头市场的定价法则作了扩展。Chamberlin, E（1933）则提出了垄断竞争市场上价格的决定机制。 除了市场结构以外，商品价格在不同的定价模式中有不同的决定方式。自从Pigou, A.C（1920）提出了垄断市场上三种歧视定价的方法以后，垄断市场上的两部定价模式、自然垄断市场上不同的定价模式等诸多定价模式和方法不断涌现。它们有的是基于经济学效率（或利润）的考虑，有的则是以市场营销作为出发点。这些定价模式多种多样，相关理论和文献的数量也十分繁多，在此不一一回顾。 本文主要基于完全垄断的市场结构，在既定的定价模式空间（人次定价和计时定价）下讨论了校园浴室定价的经济学机制，并在其他市场结构下做了简要的补充说明，而且以经济学效率的标准评价了不同的定价模式。本文的创新与贡献在于：一方面通过自主建立的模型对校园洗浴市场的定价机制进行了分析；另一方面试图将这一模型一般化，以期给出解决类似问题的一般方法。 二、校园浴室的背景信息 在构建模型之前，首先给出校园浴室的一些背景信息。 一所大学的浴室可以分为两类：公共浴室与私人浴室。公共浴室提供热水洗浴，向全校学生开放； 私人浴室供某一楼层或某一房间的学生使用，有的提供热水，有的只提供冷水（自来水）。 公共浴室与提供热水的私人浴室均收费，而只提供冷水的私人浴室免费。 浴室的定价模式不尽相同，但主要有两种：一种是人次定价，即浴室对每人每次洗浴收取固定的费用；另一种是计时定价，即浴室按照洗浴时间的长短收取不同的费用，但单位时间洗浴的价格是固定的。还有一些大学采用计量定价的模式，即根据洗浴者的用水总量来收费。某位洗浴者单位时间的用水量主观上取决于他（她）自己的洗浴习惯，客观上受洗浴设施（淋浴）水量可调节性的约束，所以一般是相对固定或变化较小的。因此对于洗浴者来说，其洗浴时间最终决定了他（她）的花费，或者说洗浴者主要通过调节自己的洗浴时间来达到调节洗浴花费的目的。所以，本文把计量定价模式归入计时定价模式。 公共浴室既可以采用人次定价模式，又可以采用计时定价模式；而私人浴室只采用计时定价模式。 至此，校园浴室可以分为以下四种情况： 1、公共浴室采用人次定价模式，私人浴室只提供冷水。 2、公共浴室采用人次定价模式，私人浴室提供热水。 3、公共浴室采用计时定价模式，私人浴室只提供冷水。 4、公共浴室采用计时定价模式，私人浴室提供热水。 以上的一些背景信息基本符合中国大学的实际情况，下面在此基础上建立校园浴室的定价模型。 三、校园浴室的定价模型 首先给出校园浴室定价模型的基本假设。 1、模型模糊了上文所述的四种情况，只考虑两种浴室：提供热水的浴室与只提供冷水的浴室，且提供热水的浴室在热水洗浴市场上处于垄断地位。此外，对于提供热水的浴室来说，不考虑人次定价与计时定价同时存在情况，也即不考虑不同定价模式的替代，而对以上四种情况（包括不同定价模式同时存在的情况）的讨论将在本文第五部分中进行。 2、校园浴室完全市场化，也即浴室经营的目标是利润最大化且没有外部的政策支持（如补贴）。 3、只考察浴室经营中与供给的热水量相关的可变成本，而不考虑固定设施的折旧和公共浴室工作人员的工资成本。相应地，把洗浴者的洗浴消费只看成对热水的消费。 因为只提供冷水的浴室是免费使用的，所以模型以最大化提供热水的浴室（除非特别注明，以下简称为浴室）的利润为目标，分别考察人次定价和计时定价下的最优洗浴价格是如何确定的。不妨设定模型考察的时间范围为一天。 首先考察人次定价的情况。设热水的总需求为 。 为人次定价时一天内洗浴的人次数； 是单位洗浴者单位时间的平均用水量，因为单位洗浴者的用水量相对固定或变化较小，所以把其均值 作为定值； 是人次定价时每人每次的平均洗浴时间。设 （ ）， 为人次定价时每人每次的总花费，也即人次定价时的洗浴价格，且 ； 为人次定价时每人每次单位时间的洗浴花费。这个需求等式说明洗浴人次数随着每人每次洗浴总花费的变化而反向变化，且弹性为 。为了与下文计时定价的分析统一，下面讨论 和 的函数关系。在 这个等式中， 由浴室决定，而 由洗浴者决定。初始状态时，各变量稳定，等式保持平衡。当浴室更改洗浴价格 时，洗浴者的洗浴时间 会作同方向的调整，但调整的幅度相对较些例如，当 升高时， 会增加，但增加的比例小于 升高的比例。这符合现实。一方面，人次定价的特点是事先缴纳固定的费用，而这一费用越高，洗浴者就倾向于洗更长的时间来消减自己对高价的不满。 另一方面，由于 的调整只是对洗浴者非需求性心理变化的反应，是“波动”而非根本性的变化，所以调整幅度相对较些基于以上两方面，且 最终又将趋于平衡，可知当 变化时， 和 都将同方向变化，也即 和 有间接的正相关关系。不妨设 （ ），且由 ，可得 ，显然满足以上的两个方面，即 。从而，热水的需求 ，解得 。但这并不是热水的反需求函数，因为 是每人每次的价格，而不是单位量热水的价格。设人次定价时单位量热水的价格是 ，而又由 ，可得 。代入 中，可得热水的反需求函数为 。设热水供给的成本函数是 （ ）， 是单位量热水的成本，则利润为 。至此，规划的目标函数为 由 可得， ；继而可以通过 求得 ，且 。至此，人次定价下浴室的最优供水量和最优价格就确定了。需要注意的是，此时热水需求的价格弹性 。一般地， ；且在垄断的情况下， ，因为垄断厂商往往只在富于弹性的区域内进行生产。由此可得 ，而这与求解上述最大化规划的必要条件 的数学结果一致。 然后考察计时定价的情况。设计时定价时热水的总需求 。 为计时定价时一天内洗浴的人次数； 是单位洗浴者单位时间的平均用水量，与人次定价时相同； 是计时定价时每人每次的平均洗浴时间。设 ， 为计时定价时每人每次单位时间的花费，也即计时定价时的洗浴价格；这一需求等式与人次定价时的情况同理。设 （ ），即每人每次的平均洗浴时间随着单位时间洗浴价格的变化而反向变化。虽然 与这一等式在形式上类似，但本质上不同。前者是间接的正相关关系，而后者是正规的、直接的、需求性的负相关关系。 则需求为 ，解得 。同样，设计时定价下单位量热水的价格是 ，且由 得到计时定价下热水的反需求函数 。又因为热水供给的成本函数是 ，则利润为 。至此，规划的目标函数为 由 可得 ；继而可以通过 求得 ，且 。至此，计时定价下浴室的最优供水量和最优价格就确定了。同样，由 和 可得 。 的经济学涵义是洗浴者的洗浴时间对于单位时间定价是缺乏弹性的，这符合情理：不管单位时间价格有多高，洗浴总要花费一定时间；不管单位价格有多低，洗浴时间过多对洗浴者并非是好事。 以上关于人次定价和计时定价的计算都基于 、 和 ，下文的分析就以此为前提。 四、对校园浴室定价模型的经济学分析 上文在一定的假设下建立并求解了校园浴室的定价模型，下面针对模型的数学结果，进行经济学的分析和解释，并得出两个主要结论。 由上文可知，人次定价模式的最优价格为 ，计时定价模式的最优价格为 。又由 ，可得人次定价时单位时间的最优价格 。这里， 表示单位时间的供水成本。可见，一般情况下，最优单位时间的洗浴价格是单位时间供水成本的加成。 下面进一步考察洗浴人次数的价格弹性 对定价的影响。图1中的实线反映了给定 和 时，单位时间最优价格 与 的关系，这种关系对人次定价和计时定价都成立。 图1 由上图可以看出，当 从1逐渐增大时，单位时间的最优价格逐渐下降，最终接近单位时间的供水成本 ，也即不论是人次定价还是计时定价，单位时间的最优价格都是 的严格单调递减函数。至此，本文可以归纳出第一个结论。 结论1：不论是人次定价，还是计时定价，单位时间的最优洗浴价格都是单位时间供水成本的加成，且最优价格随着洗浴人次数价格弹性的增大而降低。 这个结论对价格的制定有现实意义，最典型的就是 的季节性差异。夏天时，学生可能更习惯洗冷水澡，所以对浴室的价格就非常敏感，也即 较大。一旦价格升高一点，就可能有比较多的学生转而洗冷水澡。因此，浴室的价格在夏天要低一些；相应地，在冬天要高一些。 然后对人次定价与计时定价进行比较分析。人次定价单位时间的最优价格为 ，计时定价单位时间的最优价格 ，显然， ，也即人次定价时单位时间的最优价格要低于计时定价时单位时间的最优价格。 在上述单位时间最优价格的关系下，接着比较两种定价模式中洗浴者的消费者剩余和浴室的生产者剩余的大小关系。首先比较消费者剩余。人次定价下，消费者剩余为 ； 为计时定价最优状态时的单位量热水的价格，且 。将 、 和反需求函数代入，可得 。同理可得，计时定价下的消费者剩余 。因为无论何种情况下，单位时间的最优价格都是单位时间供水成本 的加成，所以设 为计量单位时间最优价格的基本单位，数学上的处理为 。 在此基础上证明 和 的大小关系。 设 （ ， ），易证 。又因为 ，所以 ，从而 ，也即 。可见，人次定价时洗浴者的消费者剩余小于计时定价时的消费者剩余。图2是当 、 且 时， 和 关于 （显示的取值范围为（1，3））的函数关系曲线。（纵轴为 ,横轴为 ；上线为 ，下线为 ；MATLAB软件绘制） 图2 下面比较两种定价模式下浴室的生产者剩余。由于在本模型中未考虑与热水供给相关的固定成本，所以生产者剩余等于利润，故分别考察两种定价模式下的利润。人次定价时的利润为 ，计时定价时的利润为 。同样，设 。下面证明 和 的大小关系。 设 （ ， ），易证 。又因为 ，所以 ，从而 ，也即 。可见，人次定价时浴室的利润总是小于计时定价时的利润。图3是当 、 且 时， 和 关于 （显示的取值范围为（1，3））的函数关系曲线。（纵轴为 ,横轴为 ；上线为 ，下线为 ） 图3 至此，本文可以归纳出第二个结论。 结论2：人次定价模式与计时定价模式相比，虽然前者的单位时间洗浴价格更低，但后者可以给洗浴者带来更多的消费者剩余，给浴室带来更多的生产者剩余。所以，从人次定价模式到计时定价模式的转变是一种帕累托改进。 结论2从理论上论证了两个观点：一、许多实行人次定价模式的学校的学生都建议采用计时定价，认为这样会对他们有利，理论上确实印证了这一点。因为洗浴者可以充分行使决定洗浴时间的权利，从而获得尽可能多的消费者剩余。二、学校不必担心采用计时定价后，所得利润会减少。因为虽然洗浴者每人每次的花费减少了， 但从浴室的角度看，洗浴的人次数却大大提高了（因为 ），而且其在每人次的每个单位时间内获得了更高的收益（因为 ），从而可以使总利润上升。因此，从人次定价向计时定价的转变是一种“双赢”。 五、对模型的进一步讨论 上文通过对在一定假设下建立的模型的经济学分析，得出了两个主要结论。下面结合实际情况，对模型进行进一步的讨论。 1、对四种浴室的讨论 第二部分列出了校园浴室可能的四种设置情况。上文实际已经讨论了第一、三、四种情况。其中第一、三种情况下，公共浴室按结论1中的方式定价，而私人浴室免费使用。第四种情况下，即公共浴室与私人浴室均提供热水，且均为计时定价时，如果公共浴室与整个私人浴室之间的关系近似于古诺（Cournot）博弈的关系，则可以证明均衡单位时间最优价格低于垄断时的单位时间最优价格，但仍符合结论1（证明略）；如果公共浴室与整个私人浴室之间的关系近似于卡特尔（Cartel）串谋的关系，则可以证明均衡单位时间最优价格与垄断时的单位时间最优价格相等（证明略）。 第二种情况下，即公共浴室与私人浴室均提供热水，但定价模式不同时，可以把公共浴室与整个私人浴室之间的关系近似地看作“垄断竞争” 的关系。此时，公共浴室与私人浴室的价格完全可以近似等于垄断时各自的价格（只要大学里的洗浴者足够多）。 2、对校园浴室市场化程度的讨论 现实情况中，校园浴室并没有完全市场化，所以实际洗浴价格往往低于完全市场化时的垄断价格，这往往通过学校对浴室的补贴来实现。即使进行补贴，浴室的定价方式也遵从结论1中的原则（只不过加成可能为负值）。 3、关于成本的讨论 公共浴室与私人浴室的固定设施的折旧以及公共浴室工作人员的工资成本在实际情况中都应考虑在内，而且洗浴价格一般会比不考虑这些成本时的价格高一些，因为此时，洗浴者消费的对象不仅是热水，还包括诸如淋冤热水器、存衣柜等固定设施以及工作人员提供的服务。 六、小结及建议 上文通过对校园浴室定价模型的讨论，得出了定价的基本方式，并对两种定价模式的效率进行了比较，从而归纳为两个主要结论。现实情况并没有从根本上改变这两个结论，只是在结论基础上进行了修正。 校园浴室在实际定价时应该同时考虑浴室的收益与学生的利益。基于此，本文提出以下三条建议： 一、在热水洗浴市场中引入竞争机制。其目的在于使洗浴价格不至于定得过高，以保障学生的利益。在非完全市场的环境下，也可以适当地采用补贴，以达到降低价格的效果。 二、采用季节性差别定价。从上文来看，这个结论的得出是为了使浴室获得最大的利润。但实际上，学生在夏季有频繁洗浴的需求，因此降低价格也可以使学生获得更大的福利。 三、采用计时定价模式。正如结论2所示，计时定价模式比人次定价模式更有效。但并不一定所有的浴室都采用计时定价模式。公共浴室采用人次定价模式而私人浴室采用计时定价模式（如果私人浴室提供热水的话）也是一种不错的方案，因为它给了学生选择的空间。一些习惯于长时间洗浴的学生就可以选择公共浴室洗浴，而洗浴时间伸缩性强的学生就可以选择私人浴室；同样，冬天洗浴次数较少且每次洗浴时间较长，可以选择公共浴室，而夏天 频繁洗浴且每次洗浴时间较短，可以选择私人浴室。 七、模型的一般化 本文构建的校园浴室的定价模型可以扩展为一般化的模型，其解决的一般性的问题可以用非正式的语言概括为：对某一消费对象，同时存在的既定支出下相对自由消费的定价模式与依据消费量进行支出的定价模式的定价分析与效率比较。例如，自助餐与点菜的比较，包月上网与计时上网 的比较等等。 这个一般化模型的主要构建过程包括： 1、用类似于 和 的变量分别表示两种定价模式下的标志性价格。 2、用类似于 的变量表示与 对应的定价单位的消费量，用类似于 的变量表示单位 变量范围内与 对应的定价单位的消费量。如在浴室定价中， 和 分别表示每次的洗浴价格和每单位时间的洗浴价格，而 和 便相应地表示洗浴的次数和每次洗浴的时间。又如在上文提到的上网定价的例子中， 和 分别表示每月（包月）的上网价格和每单位时间的上网价格，而 和 便相应地表示为包月的月数和每月上网的时间。 3、在两种定价模式下分别建立 与 、 与 的函数关系，除了在“既定支出下相对自由消费的定价模式”下 与 的正相关的间接函数关系外，其他函数关系均为负相关的、直接的、需求性的函数关系。 4、用统一的等式表示两种定价模式下的消费需求总量，进而得出市场需求函数。如浴室定价模型通过统一的等式 最终得出 与 的市场需求函数关系。 5、在相关函数关系确定的基础上，根据相应的市场结构的特征，利用最优化方法求解最优价格等变量，并以此为基础进行定价效率的比较。 虽然两种定价模式的定价单位根本不同，但是由于3、4的存在，两种定价模式的变量及变量间函数关系的型式得到了统一，从而使两种定价模式具有了广泛的可比性。由于校园浴室定价模型的结论是在垄断或近似垄断的市场结构的基础上得出的，所以一般化问题的结论是否都与此结论类似，尚需深入探讨。 | ||
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