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概率论
真理在缩水，还是上帝在掷骰子？Posted on 2011/07/13 by 谢益辉
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最近在Google Reader中看见科学松鼠会有两篇文章被频繁分享，名为《真理在缩水——现代科学研究方法并不尽善尽美？》（上）与（下），下文简称《缩水》。文章很有意思，而实际上说的是我们的老本行——统计学，因此我在这里也发表一些我的想法和理解，包括这两年我在美帝学习的一些思考，部分内容受益于两位老师Kaiser和Nettleton教授，先向他们致谢（尽管他们永远都不会看到这篇文章）。同时我也要先说明一下，读这篇文章可能会很花时间（至少我花了大约二十小时写这篇文章），即使我的观点没有价值，我相信里面的引用文献是有价值的。
初读文章，我脑子里冒出的一句话是“上帝在跟我们掷骰子”，文中给出了大量的不可重复的试验，仿佛就像那些号称“具有统计学意义”（下文我再说这个所谓的“意义”）的试验结果只是若干次骰子中的一次运气好的结果而已。读完文章，我们可能不禁要问，到底是真理在缩水，还是它根本就不曾存在？下面我从四个方面来展开，分别说明人对随机性的认识、统计推断的基石、让无数英雄折腰的P值、以及可重复的统计研究。
一、感知随机随机变量在统计分析中占据中心地位，数学上关于随机变量的定义只是一个“干巴巴的函数”，从样本空间映射到实数集，保证从实数集上的Borel域逆回去的集合仍然在原来的sigma域中即可。随机变量的性质由其分布函数刻画。写这段话的目的不是为了吓唬你，也不是为了作八股文，而是来说明我为什么不喜欢数学的理由，对我而言，我觉得有些数学工具只是为了让自己不要太心虚，相信某时某刻某个角落有个理论在支撑你，但后果是弱化了人的感知，当然，也有很多数学工具有很强的直觉性（如果可能，我想在未来下一篇文章里面总结这些问题）。我一直认为很多人对随机性的感知是有偏差的，对概率的解释也容易掉进陷阱（参见Casella & Berger的Statistical Inference第一章，例如条件概率的三囚徒问题）。
《缩水》一文发表了很多不可重复的试验案例，我们应该吃惊吗？我的回答是，未必。举两个简单的例子：
第一个例子：很多数据分析人员都很在意所谓的“离群点”，论坛上也隔三差五有人问到这样的问题（如何判断和处理离群点），而且也有很多人的做法就是粗暴地删掉，我从来都反对这种做法。除了基于“数据是宝贵的”这样简单的想法之外，另一点原因是，离群点也许并非“异类”。离群点是否真的不容易出现？请打开R或其它统计软件，生成30个标准正态分布N(0, 1)随机数看看结果，比如R中输入rnorm(30)，这是我运行一次的结果：
> rnorm(30) [1] 1.19062761 -0.85917341 2.90110515 0.59532402 -0.05081508 -0.06814796 [7] 2.08899701 0.76423007 0.92587075 -1.16232929 -0.68074378 -1.40437532[13] -0.17932604 -0.72980545 -0.53850923 0.21685537 -0.35650714 -1.32591808[19] -0.88071526 -1.25832441 0.24001498 -0.41682799 -0.09576492 -0.17059052[25] -0.99947485 0.25108253 -0.47566842 -0.28028786 0.79856649 -0.1325097430在现实中是一个比较小的样本量，你看到了什么？2.901？它接近3倍标准差的位置了。还有2.089？……如果你不知道这批数据真的是从标准正态分布中生成出来的，现在你会有什么反应？把2.9删掉？标准正态分布是一个在我们眼中很“正常”的分布，而一个不太大的样本量一次试验足以生成几个“离群点”，那么要是成千上万的试验中没能产生几项震惊世界的结果，你会怎样想？（上帝的骰子坏掉了）
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