期权计算

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1.Let ST be given by ST =S0*exp((r−d−1σ2)T+σBT). For a strike K > 0, consider an “asset-or-nothing” option A that pays, at time T, ST EUR if ST > K and 0 EUR otherwise.

a) Can you replicate this option with call and digital options, i.e. can you create a portfolio of call and digital options that leads to the same payoff?

b) Calculate the price of A. If you introduce any new variables, define them explicitly, and give all steps of your calculation.

我有一些想法，但是不确定，还是不写出来干扰了

希望高手指教

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关键词：期权计算 Calculation Introduce calculate otherwise 计算 digital create option price

呵呵， 有思想，有理想，有幻想，呵呵

gzgysr 发表于 2012-4-3 07:29
呵呵， 有思想，有理想，有幻想，呵呵

？？？？

在风险中性概率下：
call的价格C(0)=e-rT E(max(ST-K,0))
note：max(ST-K,0)=(ST-K)*I{ST-K}
I 叫做indicate fuction：
ST>K,I=1;
ST<K,I=0;
所以C(0)=e-rT E((ST-K)*I{ST-K})=e-rT E(ST*I{ST-K})-e-rT E(K*I{ST-K})
=e-rT E(ST*I{ST-K})-Ke-rTE(I{ST-K})  (PS：E(I{ST-K}) ，其实就是在风险中性概率下ST>K的概率)

我们发现:
1. e-rT E(ST*I{ST-K})，就是asset or nothing option，ST>K,payoff=ST, ST<K,payoff=0
2. K*e-rT E(I{ST-K}),就是digital option，ST>K,payoff=K, ST<K,payoff=0

所以一个call=asset or nothing option-digital option，所以asset or nothing option=call+digital option，你只要long一个call和一个digital option就能复制出来了。

定价很容易，call我们知道，有BS公式，digital的也很容易K*e-rT E(I{ST-K})=Ke-rT*P(ST>K),你把ST表达式代入，两边取log，移项，然后求标准正态累计概率就行了。两者相加，就算出来asset or nothing option的价格了。

bless~

Great deed.

asset or nothing = call + digital call

Chemist_MZ 发表于 2012-4-3 08:37
在风险中性概率下：
call的价格C(0)=e-rT E(max(ST-K,0))
note：max(ST-K,0)=(ST-K)*I{ST-K}

太感谢了，写的非常清楚。
最后一步是说吧C(0)=e-rT E(max(ST-K,0))和D（0）＝K*e-rT E(I{ST-K})解出来求e-rT E(ST*I{ST-K})？
也就是说用call price乘一个（1＋K）的系数？

Enthuse 发表于 2012-4-3 21:18
asset or nothing = call + digital call

谢谢，其实本质上就是说Call＝（S-k）,digital=k,或者都等于0，所以加起来收益等于S或0？

schwereburg 发表于 2012-4-4 03:14
谢谢，其实本质上就是说Call＝（S-k）,digital=k,或者都等于0，所以加起来收益等于S或0？

u r right.

schwereburg 发表于 2012-4-4 03:10
太感谢了，写的非常清楚。
最后一步是说吧C(0)=e-rT E(max(ST-K,0))和D（0）＝K*e-rT E(I{ST-K})解出来求 ...

BS公式C=SN(d1)-Ke-rTN(d2)
digital option价格=Ke-rTN(d2)
asset or nothing option价格=SN(d1)
这三个价格很清楚了，其实本来call的价格就是两者之差，现在只是反算吧。直接求asset or nothing option也能弄出来。