请教大家一个线性回归的经典但是容易被忽视的问题

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对于 y(i) = a + bx(i) + epsilon(i)
epsilon(i) 是被假设符合正态分布的随机变量。

我看到Simmon Wood的书上写到：
假设epsilon(i) ~ N(0, sigma^2) for all i, 这等同于假设Y(i) ~ N(x(i)*b, sigma^2). 我们注意到bhat仅仅是Y(i)的一个加权和，但是Y(i)现在被假设为正态随机变量，因此bhat也必须是一个正态随机变量：
bhat ~ N(b, sum(x(i))^(-1)*sigma^2)。

我的问题是：这是不是说线性回归方程中的斜率的估计也是一个正态随机变量？是不是说它也符合正态分布？

请诸位同仁不惜赐教。

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关键词：线性回归 Sigma 随机变量 正态分布 Wood 经典

斜率的估计严格来说是符合正态分布的统计量。古扎拉蒂的书写的再清楚不过了。

Good!
那么我还要请教一个小问题，y=a+b*x+epsilon还可以写为y=a+1/k*x+epsilon，此处k=1/b，那么请问k符不符合正态分布，嘿嘿

在X非随机的情况下，斜率的估计值是随机变量Y的线性组合，无论怎么变换，经典线性回归的斜率总是服从正态分布的估计量。但如果一定要采用1/K的表达形式事实上就不是“线性”回归的范畴了。

学习了

xuezhe116 发表于 2012-4-14 11:01
在X非随机的情况下，斜率的估计值是随机变量Y的线性组合，无论怎么变换，经典线性回归的斜率总是服从正态分 ...

奇怪的是Y居然也是符合正态分布的！Y(i)的均值居然是b*x(i)，怎么回事？为什么不是a+b*x(i)？

peijianshi 发表于 2012-4-14 10:37
Good!
那么我还要请教一个小问题，y=a+b*x+epsilon还可以写为y=a+1/k*x+epsilon，此处k=1/b，那么请问k符 ...

不

经典线性回归在正态性假定下，Y是u的线性函数，u为正态分布，Y一定是正态分布的。换言之，对应于非随机的X，Y的取值来自正态总体。