蒙特卡洛方法中生成随机数的问题

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通常，蒙特卡洛方法中生成某种分布F(x)下随机数y的方法是首先利用均匀分布(a=0,b=1)生成随机的F(x)的概率F(y)，再利用F(x)的逆函数得到随机数y。但问题是，均匀分布下产生的任何随机数的概率是一样的，而F(x)与x又是一一映射的关系，那么可不可以说通过这种方式生成的F(x)下的不同的x的概率其实也是一样的，那么如果这样的话所生成的随机数其实并不服从F(x)的分布了啊？？因此通过这种方式生成任意分布的随机数其实是非常不科学的了，那么如果是这样的，为什么教科书上介绍的蒙特卡洛方法基本都是以这种方式生成随机数呢？？请指点。

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关键词：蒙特卡洛方法 生成随机数 蒙特卡洛 随机数 蒙特卡 蒙特卡洛 教科书

看似有道理，其实频数不一样，就可以产生其他分布函数。这和一一对应并不矛盾！

goodmangis 发表于 2012-4-17 22:48
看似有道理，其实频数不一样，就可以产生其他分布函数。这和一一对应并不矛盾！

没觉得您有正面回答我的问题。为什么频数不一样，你生成一百万个均匀分布的随机数，这些随机数的分布就会是非常均匀的，那么映射到任意cdf中得到的对应值的分布也应该是很均匀的，这样的话应该体现不出来这种分布中低概率或者高概率值的不同之处。
如果真的理解，请说的清楚些。

我不知道是不是理解了楼主的意思。
楼主是不是意思是说因为x是均匀分布，所以外面套一个函数y=F-1(x)也是均匀分布是么，因为x和y是一一对应的关系。

其实一一对应并不能说明就是均匀分布，因为我们考虑单点的概率没有意义，因为单点的概率都是零。我们能考虑的只是在一个区间上的累计概率。比如均匀分布0到0.25和0.25到0.5的累计概率是一样的，用F-1(x)映射过去，显然F-1(0)到 F-1(0.25)， F-1(0.25) 到 F-1(0.5) ，累计概率是一样的，但是点不等分了。就好比正态分布，你要两块面积相等，那么那3点的间隔肯定不等分。



我草草画了张图，X是一个均匀分布，通过F-1(x)（F(x)是正态累计密度函数）映射到Y上，就是一个正态分布，显然1,2,3,4的间隔不一样，就是因为F(x)不是一个线性函数，所以要让F(x)服从一个均匀分布，那么x必须满足正态的。关键还是单点映射没有什么意义吧，要看一个区间上的累计密度。概率一样，但是点间隔不一样，而概率只是针对一个区间上的累计概率而非单点概率。

我也讲得不是很清楚，只是个人一点理解。

Chemist_MZ 发表于 2012-4-18 08:06
我不知道是不是理解了楼主的意思。
楼主是不是意思是说因为x是均匀分布，所以外面套一个函数y=F-1(x)也是均 ...

首先非常感谢！！
我觉得你说的很有道理的，如果理解了你的意思的话。确实间隔不同，累计概率也不同。
但是如果在蒙特卡洛方法中生成随机数，是不是必须得面对单点的问题呢？因为生成随机数是一件很具体的事情，生成的数是一个具体的值。
一个最简单的例子，我要生成标准正态分布下的随机数，大多数教科书上介绍的方法是：
在0，1均匀分布中利用random number generator生成随机数，以此随机数作为累计概率值通过标准正态逆函数映射得到对应的标准正态分布下对应的点，则此点为标准正态分布下的随机数。如果要继续生成，则反复此步骤。
由于累计概率函数是一一映射函数，那么其实我在生成均匀分布随机数的时候其实也就相当于生成了需要的累计函数的随机数，到此为止，不知道我说的对不对？
那么假如我生成一百万次均匀分布的随机数，生成0.000001和0.500000或相应近似数的频数应该是相近的，如果不相近，我可以改为生成一百亿次随机数，随着取数量的增大，频数一定是近似的。那么0.000001和0.000000相对应的标准正态分布下的节点，也就是我们想要生成相应的标准正态分布下的随机数的频数也该也是相似的，这是由于一一映射的原因。但是反过来思考的话，很明确的是标准正态分布下0.000001所对应的数所出现的概率（即0.000001）应该远远小于0.5所对应的数所出现的概率（即0.500000）。主要问题是0.000001和0.500000作为单点来讲对于均匀分布是没有区别也没有意义的，然而作为单点的这个两个值对于标准正态分布而言则意味着生成数所对应的累计概率。
或者说，对于均匀分布而言，生成一个极小的近似于零的值是很正常的，然而如果这个值所对应标准正态分布下的值的出现则应是一个小概率事件。
也就是说，这样的随机数生成方法更易生成小概率事件。不知我有没有表达清楚我的观点。

yuanjackson 发表于 2012-4-18 17:54
首先非常感谢！！
我觉得你说的很有道理的，如果理解了你的意思的话。确实间隔不同，累计概率也不同。
...

恩，你说的问题我考虑过，你的意思是说均匀分布里生成0或1附近的数是很平常的，而这两个数对应正态的正负无穷，而正负无穷是正态里的小概率事件，所以可能会产生矛盾是吧？

其实把这个问题简化一下，我们假设均匀分布是一个离散的分布，有100个离散点，每个点取到的概率都是0.01，在数轴上看意义就是这100个点都是等间隔的，在以0.1为长度的任意线段内，应该都包含10个点。那么这些点通过N-1(x)映射到y上产生了在y轴上的100个点。而这些点是不等间隔的。在0.1的长度内包含的点是不一样的。（N（）的累计密度函数）

这里其实概率就是在一个区间上点的个数，我想了一下觉得这样解释最直观。你就可以看成一个区间上点的个数，这样就是概率。比如，那100个映射后的点在y轴上，在三个标准差的范围内即：[-3,3]理论上应该包含95个点。因为你在现实中生成伪随机数是离散的，所以这样就可以解释了。

至于你说的那个大小概率的悖论，其实不矛盾，对于那100个均匀离散点，虽然每个点取到的概率一样，但是对于取到0和1这两个点却是小概率事件，有66个点分布在[-1,1]里，95个点分布在[-3,3]里，所以对于要取到正态里[-1,1]之间的数，你闭着眼睛从均匀分布里抽，有6成多机会都能对，但是对于正负无穷，你却只有2%的机会。

均匀分布只是抽到每个数的概率是一样的，但是要抽到特定的一个数，相对于抽到一个区间里的数，那就是小概率事件了。只是如果你要抽到正态里[-1,1]的数，你抽到均匀分布里的0.45,0.46,0.47。。。都可以。可见只是标准降低了，但是要抽到正负无穷，那必须抽到0，或者1，这概率明显小很多。应该是点的间隔，就是聚集程度不同作怪。

我不知道我说清楚了没有

你让我更好地理解了这个问题，非常感谢！

Chemist_MZ 发表于 2012-4-18 19:16
恩，你说的问题我考虑过，你的意思是说均匀分布里生成0或1附近的数是很平常的，而这两个数对应正态的正 ...

你让我更好地理解了这个问题，非常感谢！