何谓公理？公理与定理有何区别？

有些人就爱装逼，你装逼就装逼，关键是你没那本事还装逼，真可耻！

依我看，所谓“公理”，就是用来为其他证明作依据的一种假设条件，这种条件的存在性、正确性看似勿庸置疑，但往往却难以甚至不可能证明。
当然楼主是不是真正想讨论什么公理、定理，咱不得而知。

世界上没有绝对正确，所以公理必定自然成立，而定理可以证伪的说法是有问题的。
所谓公理的认定，依从于人的需要。任何一门学科，必然有几个假设前提，然后在这几个假设前提的基础上，依靠逻辑推演，逐步建立起这个学科的大厦。若这几个假设前提受到质疑，出现了问题，则依靠这几个假设前提建立起来的学科大厦将砰然倒塌，或者是衍生出一门新的学科来解释这些新问题。
因此，作为假设前提的公理，不需要证明，在这个学科体系里被认为自然成立，原理越质朴越好，表述越简单越好，逻辑越清晰越好，这样才会不受到质疑。数学就是这样，从1+1=2推演到无穷，从自然数衍生出整数、有理数、无理数、复数，等等。
而从公理推论出的结论，即为定理。只要有了公理，任何人都可以玩出定理，来完善这个学科体系，只要这个定理逻辑上没有问题，在这个学科体系里用途很广，大家都接受它。有时候，从公理推演出的定理可能会与原有公理或其他定理相悖，这时就得检讨原公理的合理性，这意味着这个学科需要一次新的革命了。

细节问题的讨论，其实不影响你学习的~

luguo

bangfu999 发表于 2012-7-4 09:25
非也。即使全世界的人都支持某一公理式正确的，它也未必就是公理。大地平坦论、地球中心论等都曾经被广泛 ...

什么叫低成本？现在不能检验的，将来可能能检验，也可能永远都不能检验。
定理是公理经过逻辑推演的结论，是公理的逻辑产物，仅此而已。

其实，目前的数学理论都是基于欧几里得空间的，这个空间是符合人类的日常生活的，所以在这个空间里公理自然是正确的，以此公理推出的定理自然也就符合逻辑，是正确的。但是一旦脱离这个空间，现有的公理就不成立，与之建立的一套理论体系都是错误的。所以，公理其实也还是有条件的。

俺 也一直对这两个概念搞不明白。
公理，既证明不了也推翻不了。
定理是要搞证明的。

hlyz2008 发表于 2012-7-5 10:02
其实，目前的数学理论都是基于欧几里得空间的，这个空间是符合人类的日常生活的，所以在这个空间里公理自然 ...

真的只有很小一块是基于欧式空间的，非欧几何绝不能算是错误啊......
人生活或是能理解认为正常的的倒只是几组特解而已

公理是一门学科最基本的假设，是大家的共同认识，楼主文中所说的平行公理，只是欧几里得几何中的公理，在非欧几何中，平行线是相交的，三角形的内角和是可能大于或者小于180度的，例如球面上的三角，赤道上两点加上北极组成的三角形中，每个角都是直角，这个三角形的内角和则是270度。
定理则是可以通过公理来证明的命题，例如上面提到的三角形内角和定理，在不同的公理体系下，三角形的内角和是不一样的。