求出此博弈的纳什均衡

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比较复杂

说说我的解法：
首先此题无纯策略纳什均衡。

再分析所有的混合策略：
甲上中下 ——> 乙一二三 ——> 可能是均衡，后面再分析
甲上中下 ——> 乙一二 ——> 甲下 ——> 非均衡
（箭头表示：假设有混合策略上中下对一二时，甲会改变策略为下，因此不是均衡。以下同）
甲上中下 ——> 乙一三 ——> 经计算无解，非均衡
甲上中下 ——> 乙二三 ——> 甲中下 ——> 非均衡

甲上中 ——> 乙二 ——> 甲下 ——> 非均衡

甲上下 ——> 乙一二三 ——> 经计算无解，非均衡
甲上下 ——> 乙一二 ——> 甲下 ——> 非均衡
甲上下 ——> 乙一三 ——> 可能是均衡，后面再分析
甲上下 ——> 乙二三 ——> 甲中下 ——> 非均衡

甲中下 ——> 乙一二三 ——> 乙一三 ——> 非均衡
甲中下 ——> 乙一二 ——> 甲下 ——> 非均衡
甲中下 ——> 乙一三 ——> 可能是均衡，后面再分析
甲中下 ——> 乙二三 ——> 乙一三 ——> 非均衡

分析：
甲上中下 对 乙一二三 ：
设甲选上的概率为x，选中的概率为y，选下的概率为1-x-y；乙选一的概率为a，选二的概率b，为选三的概率为1-a-b。
甲的期望=6a+6b+8(1-a-b)=3a+7b+9(1-a-b)=7a+9b-2(1-a-b)
解得：一=1/4 二=29/52 三=5/26 甲的期望=83/13≈6.385
乙的期望=12x+8y+5(1-x-y)=13x+8y=5x+7y+11(1-x-y)
解得：y=29/23 无合理解。由于乙选一二三的期望不相等，那么此混合策略非均衡。

2. 甲上下 对 乙一三 ：
设甲选上的概率为x，选下的概率为1-x；乙选一的概率为a，选三的概率为1-a。
甲的期望=6a+8(1-a)=7a-2(1-a)
乙的期望=12x+5(1-x)=5x+11(1-x)
解得：
一=10/11 三=1/11 甲的期望=68/11≈6.182  
上=6/13 下=7/13 乙的期望=107/13≈8.231

3. 甲中下 对 乙一三 ：
设甲选中的概率为y，选下的概率为1-y；乙选一的概率为a，选三的概率为1-a。
甲的期望=3a+9(1-a)=7a-2(1-a)
乙的期望=8y+5(1-y)=7y+11(1-y)
解得：
一=11/15 三=4/15 甲的期望=23/5=4.6
中=6/7 下=1/7 乙的期望=53/7≈7.571

当乙选一三时，甲选上下的期望比选中下高，因此甲会选择上下。
结论：
此博弈只有一个纳什均衡，为混合策略甲上下对乙一三。甲选上的概率为6/13，选下的概率为7/13；乙选一的概率为10/11，选三的概率为1/11。

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小三真子的圣衣 发表于 2012-7-27 19:38
我也注重现实问题的研究。但纯理论也要学习呀

syrsrtdhsdfscd是自动回帖刷经验的机器人吧，好多这种不知所谓的东西，不要理就是了

msesilver 发表于 2012-8-8 11:43
syrsrtdhsdfscd是自动回帖刷经验的机器人吧，好多这种不知所谓的东西，不要理就是了

哦，原来是这样