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1. 当ST vol为负数时,就是出现volatility frown的时候,为什么implied distribution会变成M形状? 我能够理解两端为何是thin-tail,但是搞不明白为什么在接近ATM的时候会有M型? John-Hull第五版只给出了在有jump时会出现M,然后推出volatility frown,讲得不清楚. 我要倒推,frown--M, 和jump应该没什么关系

2. 如何根据volatility进行套利? 比如当smile很平的时候,或者很陡峭的时候,似乎无套利会被打破,但不知道为何

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关键词：Volatility smile ATI LAT SMI 高手 帮忙 Volatility smile

以下是引用stonexu1984在2007-3-18 16:15:00的发言：

1. 当ST vol为负数时,

我先问下，这是什么意思？

先说第一个，bimodal -> implied vol frown，反过来不一定。正确的倒推，implied vol frown -> platykurtosis，类似于implied vol smile -> leptokurtosis。

第二个，假如你说的套利指的是riskless arbitrage，那么根据1) no free call spread, 2) no free butterfly，Black-Scholes formula对K取导数，可以得到 implied vol的shape contraint，它的slope既不能太正，也不能太负，总之像你说的不能太陡峭，但是太平没有问题。但是如果你说的是volatility arbitrage，那是一个trading strategy，不是传统意义上严格的arbitrage。

哦,ST就是strangle,ST为负数时,至少有一个vol是小于ATM的

第一个,我还是不太明白为什么frown能导致platykurtosis,对kurtosis不是很了解,只知道heavy tail...

第二个,就是riskless套利的意思,我知道太正的时候call spread价格会变负数,那butterfly的价格是怎么求的?是不是太负的时候就会变负数?

以下是引用stonexu1984在2007-3-19 3:13:00的发言：

哦,ST就是strangle,ST为负数时,至少有一个vol是小于ATM的

第一个,我还是不太明白为什么frown能导致platykurtosis,对kurtosis不是很了解,只知道heavy tail...

第二个,就是riskless套利的意思,我知道太正的时候call spread价格会变负数,那butterfly的价格是怎么求的?是不是太负的时候就会变负数?

我不好，我又没有说清楚。不过我还是没明白strangle vol是负的，至少有一个vol是小于ATM是什么意思。

第一个，leptokurtosis，fatter tails, more peaked in the center，所以越靠近tails，probability越被低估，所以需要提高implied vol来match option price。platykurtosis，thinner tails, less peaked in the center，所以越靠近tails，probability越被高估，所以需要压低implied vol来match option price。

第二个，slope太负不是负的butterfly，而是负的put spread，dC/dK <= 0和dP/dK >= 0两个条件决定implied vol的slope的上下限，butterfly决定implied vol的convexity。

高手啊! 是我没理解清楚...

strangle(ST)为负的时候,就是1/2(sigma call+sigma corres. put)-sigma ATM<0

所以会导致volatility frown出现. frown出现后两端是thin-tail,vol下降,price下降.

platykurtosis的意思是不是:最两端概率小于lognormal,往内一些的概率又大于lognormal,所以在最中间的那块概率要小于lognormal,所以就出现M型

还有个问题,当ST为负的时候,density在出现M形状的同时中间一段会小于0,是不是说明能arbitrage了

[此贴子已经被作者于2007-3-19 5:54:38编辑过]

以下是引用stonexu1984在2007-3-19 5:53:00的发言：

高手啊! 是我没理解清楚...

strangle(ST)为负的时候,就是1/2(sigma call+sigma corres. put)-sigma ATM<0

所以会导致volatility frown出现. frown出现后两端是thin-tail,vol下降,price下降.

platykurtosis的意思是不是:最两端概率小于lognormal,往内一些的概率又大于lognormal,所以在最中间的那块概率要小于lognormal,所以就出现M型

还有个问题,当ST为负的时候,density在出现M形状的同时中间一段会小于0,是不是说明能arbitrage了

搞清楚了，你那个strangle为负的说法，我叫butterfly。那个不等式里面，把sigma corres. put换成call，就是butterfly了。

platykurtosis就是你说的那个意思了，但是implied vol frown不一定就是说implied probability density是bimodal的，M型完全是由于single jump引起的，狠多分布是unimodal的，但是是platykurtotic的，假如我对那么一个分布积分得到期权价格再转成implied vol，我应该也有frown，这是我猜的，没有试过，等我什么时候试一下。

density不可能是负的，density是负的说明有free butterfly，肯定是arbitrage。

[此贴子已经被作者于2007-3-19 6:58:34编辑过]

我现在只有数据,smile画出来是个frown,density画出来是M. 至于为什么是M,就能说有single jump? 但是我只有数据啊,没法验证,这个single jump能从别的地方看出来么

你的数据干净吗？假如是交易所公布的结算价格，经常不是arbitrage free的，什么奇形怪状的density都可能。single jump不就是Hull书上举的例子吗？

以下是引用stonexu1984在2007-3-18 16:15:00的发言：

1. 当ST vol为负数时,就是出现volatility frown的时候,为什么implied distribution会变成M形状? 我能够理解两端为何是thin-tail,但是搞不明白为什么在接近ATM的时候会有M型? John-Hull第五版只给出了在有jump时会出现M,然后推出volatility frown,讲得不清楚. 我要倒推,frown--M, 和jump应该没什么关系

2. 如何根据volatility进行套利? 比如当smile很平的时候,或者很陡峭的时候,似乎无套利会被打破,但不知道为何

请高手指教!!!

推荐你看看高盛的strike-adjusted-spread文章。

恩,明白了,谢谢大家