在进行工具变量（IV）回归时，一阶段的目的是检验工具变量和内生变量之间的相关性。你的情况稍微复杂一些，因为你有一个U型关系，即模型包含x及其平方项x^2，并且分别给它们找了各自的工具变量z和z^2。
对于你的问题，首先需要明确的是，在IV框架中，每个工具变量应该只影响它对应的内生变量（这里是指x或x^2），并且通过这个内生变量间接影响因变量y。因此，我们期望看到的结果是：z对x有显著影响，而z^2对x^2有显著影响。
你提到的情况是，一阶段中z的系数显著，这表明z与x之间存在相关性，这是符合IV条件中的“相关性”要求的。然而，z^2的系数也显著，这意味着它同时也对x^2产生了直接影响，这也是应该预期到的结果，因为z^2被设计为影响x^2。
你认为只要z与x的关系显著就已经满足了工具变量的有效性的想法并不完全正确。一个有效且相关的工具变量不仅要与内生变量相关，而且还要满足“外生性”，即除了通过它所作用的内生变量之外，不能直接对因变量产生影响。此外，对于U型关系模型而言，每个工具变量应该只直接影响其对应的内生项（x或x^2），并间接通过这个路径影响y。
因此，在一阶段检验中，z和z^2都需要满足上述条件才算是合适的工具变量：即它们应该分别显著影响x和x^2，并且这种关系是直接的、独立于模型中的其他变量。如果这些条件都得到了满足，则可以认为已经通过了一阶段检验，进而进行二阶段回归分析。
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