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陶哲轩的错误分析
主项是：“素数算术数列”。
谓项是“任意长”。
谓项错误
一个合理的全称肯定判断，全称判断主项“周延”（周延就是对全部外延断定），肯定判断谓项“不周延”。
陶哲轩的谓项 “任意长”显然是周延了，因为“任意”就包含了“一切”。
这是不合法（不符合逻辑）的论断，谓项不能超出主项合理承受的范围。
顺便说一下主项
主项错误
1，“素数算术数列”是一个集合概念。而所有的数学定理主项都是普遍概念或者单独概念。世界上没有任何一个数学定理的主项是集合概念。
2，构成主项的等差级数有以下内容：
素数构成的等差数列的“公差”有无穷多种，例如：
公差2（3和5），
公差4（7和11），
公差6（7和13），
....，
直至无穷。
3， 陶哲轩要想证明集合概念的“素数算术数列”有任意长，就必须逐一证明：
公差2的素数算术数列可以多长，
公差4的素数算术数列可以多长，
公差6的素数算术数列可以多长，
...........，
公差2n的素数算术数列可以多长（n指任意大的自然数）。
为什么？预备知识---
全世界的数学定理的主项都是普遍概念或者单独概念，世界上没有任何一个数学定理的主项是集合概念。
概念的種類：
（1），單獨概念和普遍概念
a，單獨概念，反映獨一無二的概念，單獨概念的外延只有一個。例如，上海，孫中山，，，。數學中的單獨概念有“e”“Π”。“e是超越數”就是一個單獨概念的命題。
b，普遍概念，普遍概念反映的是一個對象以上的概念，反映的是一個“類”，這個詞項的內涵由為了包含在詞項外延所必須具有的事物的性質組成。
就是说，普遍概念的每一个个体必然具有这个概念的基本属性。例如：工人，無論“石油工人”，“鋼鐵工人”，還是“中國工人”，“德國工人”，它們必然地具有“工人”的基本屬性。數學中的普遍概念有例如“素數”，“合數”，等。“素數無窮多”就是一個普遍概念的命題。
（2），集合概念和非集合概念。
a，集合概念反映的是集合體，這個詞項的外延由詞項所應用的事物集合組成，例如“中國工人階級”，集合體的每一個個體不是必然具備集合體的基本屬性，例如某一個“中國工人”，不是必然具有“中國工人階級”的基本屬性。集合概念的命題是不需要證明的，也是無法證明的，只能是歸納總結。
b，非集合概念（省略）。
如果陶哲轩想说的是：“无穷多种公差的素数算术数列中，至少有一种是无穷的或者有限的”，那么，只是一个特称判断，即：“有些A是B”，就不是定理，只是一个数学事实，数学不承认数学事实。特称判断暗含了一个“假定存在”的非逻辑前提。数学证明严禁引入非逻辑前提。所有的数学定理都是“一切A是B”的全称肯定判断。
陶哲轩使用错误概念
陶哲轩论文中使用一个错误概念“殆素数”（almost prime），不仅仅是论文中，而且在参考文献中大量使用错误的论文。“殆素数”不是一个科学概念，因为科学概念必须符合：专一性，精确性，稳定性，系统性和可以验证性。“殆素数”不能在严格的数学证明中使用。使用错误概念“殆素数”
陶哲轩缺乏基本语文常识
陶哲轩文章的标题，连句子也不通，缺乏基本的语文常识。例如，陶哲轩的论文标题：存在任意长的素数算术级数，THE PRIMES CONTAIN ARBITRARILY LONG ARITHMETIC PROGRESSIONS就是一个病句。
例如，我们不能说“上海有50%的工人阶级都是男性”。因为，“工人阶级”是一个集合概念，前面不能用50%数量词限制。我们只能说“上海有50%的工人都是男性”。
陶哲轩归纳法证明
田野的错误
这是一个病句，因为有两个量词，产生了歧义。一个是【无穷多个】，一个是【任意指定个数】而谓项只能用其中一个：
第1种理解主项：无穷多个同余数，
谓项：任意指定素因子个数。
（因为，你想告诉人们的是同余数的素因子个数。而无穷多个同余数是已知的）。
按照汉语语法，主项在前面，谓项在后面。即：”存在无穷多个同余数它们有任意指定个数的素因子“
主项似乎没有问题，是说无穷多个同余数的全称判断；但是，既然知道同余数本来就有无穷多个，田野的判断在前面就无需加上“无穷多个”的废话。
谓项不对，”任意指定素因子个数“是要多少有多少。包含了一切。因为是肯定判断，谓项不能周延，（周延就是对全部外延断定）。
任意就是包含了一切，无条件的。就是周延了，这个笨蛋，就连话都是说不清楚。
第2种理解主项是：具有任意指定素因子个数的同余数。
谓项是：无穷多个。
即：任意指定素因子个数的同余数有无穷多个。
全称判断主项周延，就是断定了全部素因子个数的同余数，就是说“每一个同余数都有无穷多个素因子”，这显然是荒唐的。
任意指定个数包含了无穷多个单项：
“1个素因子的同余数”，
“2个素因子的同余数”，
“3个素因子的同余数”；
“4个素因子的同余数”；
.....，。
就是说包含全部素因子的同余数有一个变量，是一个集合概念，每一个具体的数量级别的同余数是一个普遍概念。
全称判断的主项必须是普遍概念，不能是集合概念。数学定理要求全称判断的主项是普遍概念。
田野必须逐一证明：
例如
“3个素因子的同余数有多少个”，
“4个素因子的同余数有多少个”，
..........。
因为，所有的数学定理的主项都是普遍概念，没有任何一个数学定理的主项是集合概念。
田野使用归纳法证明
为什么不能用归纳法证明？
因为设立命题时使用少量样本归纳出来的，再用少量样本证明，就不可靠了。少量样本归纳证明只是增加了命题的可信度，不能证明整个理论的正确，这就是归纳证实的局限性。
用哥德巴赫猜想举例：
原始信息（6=3+3，8=3+5，..。就是逐一归纳有限的样本，具有某种性质（两个素数之和），于是归纳推出“哥德巴赫猜想”推导出（预测）有无穷多个的数量样本的偶数也具有某种性质）。
在有限数量基础上归纳产生的猜想，通过演绎证明是不对等的。现在全世界的数学家用归纳法“证明”猜想，就是一种用预测方法证明由预测产生的命题。荒唐荒谬荒诞。
归纳是在一个有穷大的样本中逐一列举, 只要样本空间没有被穷尽, 使用的都是简单枚举归纳推理。
而命题是对于无穷大的样本, 我们根本不可能穷尽该样本空间, （例如哥德巴赫猜想中的偶数就有无穷多个）因此只能使用简单枚举归纳推理，简单枚举归纳推理是一种扩大了前提条件的推理, 它的结论是不可靠的。
使用归纳推理提出假说, 其假说是非常脆弱的, 因为对它的逐一证实是绝对不可能的, 除非你穷尽样本空间, 而一旦这样, 你使用的已经不是归纳推理了。
它的脆弱性体是：只要一个反例, 就可以推翻这个假说命题。
溯因推理借助不完全归纳，预测成为一个命题叫做猜想（证明一个猜想是告诉你结果，让你按照规则找出原因-过程的必然性，把道理讲清楚）。
归纳只能预测，不能证明。
无穷多个样本的数学定理必须是全称判断，数学家必须完成一个：由归纳出来的有限个事实样本去证实无穷多个元素的--不可能完全证实的命题进行演绎方法证明，并且结论是全称肯定判断的正确三段论只能是第一格的AAA式。这是绝大多数数学命题证明无法做到的。
溯因加归纳推理是从结果追溯原因的推理，溯因推理是采纳预测的推理.-—— 一个留待观察的假说，归纳产生的全称命题。它仅以疑问的或猜测的方式断定其结论是真的。
归纳推理是基于有限观察的，从有限样本推出一般结论的推理, 它的前提是关于个别事物具有某种性质的论断, 结论却试图得出全体事物皆具有此性质的论断，中间有一个巨大的逻辑空挡。
不完全归纳出来的全称判断形成的待证命题，怎么可能通过演绎推理回到初始信息？怎么越过这个巨大的逻辑空挡，让初始信息变成一个定理？
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