[转帖]n階行列式的幾何意義

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<P align=center><B><I><FONT face=PMingLiU><FONT size=22><FONT face="Times New Roman">n</FONT></FONT></FONT></I></B><B><FONT face=PMingLiU><FONT size=22>階行列式的幾何意義</FONT></FONT></B><B><FONT face=宋体><FONT size=14></FONT></FONT></B></P>
<P align=center><FONT face=PMingLiU><FONT size=5>李鴻祿</FONT></FONT></P>
<P align=center><FONT face=PMingLiU><FONT size=5></FONT></FONT><FONT face=宋体><FONT size=14></FONT></FONT></P>
<P align=left><FONT size=5><FONT face=PMingLiU>　　</P>
<P >一般說來，<I ><FONT face="Times New Roman">n</FONT></I>階行列式代表一個數值，它的幾何意義不是很明朗的。但其中有幾種特殊的行列式其幾何意義是很明顯的，其中最明顯的是一種是對角矩陣的行列式，它的數值表示一個<I ><FONT face="Times New Roman">n</FONT></I>階泛立體的泛體積。另有兩種行列式的幾何意義稍加研究就不難發現，其中一種是它的<I ><FONT face="Times New Roman">n</FONT></I>個行中，有一行是由單位正交向量所組成，其餘各行仍是數量；另一種是實對稱矩陣的特徵行列式。<o:p></o:p></P>
<P >我們今天先來研究第一種。<o:p></o:p></P>
<P align=left>　　為方便討論，我們將一<I >n</I>階行列式的第一行看作是由單位正交向量<B ><I >e</I><SUB>1</SUB>，<I >e</I><SUB>2</SUB>，……，<I >e<SUB>n</SUB></I></B>所組成，其餘各行仍看作由數量所組成：</FONT></FONT><FONT face=PMingLiU><FONT size=14>　</FONT></FONT><FONT size=14><FONT face="Times New Roman"> </FONT></FONT></P>
<P align=left><FONT face=PMingLiU><FONT size=14><FONT size=5><IMG src="http://www.gwjhx.com/UploadFile/2007-7/200772510204160395.jpg" border=0></FONT></FONT></FONT></P>
<P align=left><FONT face=PMingLiU></FONT></P>
<P align=left><FONT size=5><FONT face=PMingLiU>　　這又意味著什麼？難道這就意味著我們所討論的那個</FONT><I><FONT face=PMingLiU><FONT face="Times New Roman">n</FONT></FONT></I><FONT face=PMingLiU>階行列式也是一個外積公式？是這種三維空間中向量的外積的推廣？回答當然是肯定的。</FONT><FONT face=Tahoma></FONT></FONT></P><FONT size=5></FONT>
<P align=left><FONT size=5><FONT face=PMingLiU>　　那麼，這種</FONT><I><FONT face=PMingLiU><FONT face="Times New Roman">n</FONT></FONT></I><FONT face=PMingLiU>維空間中向量的外積公式，是表示幾個向量之間的外積呢？三維空間向量的外積運算是在兩個向量之間進行的，難道</FONT><I><FONT face=PMingLiU><FONT face="Times New Roman">n</FONT></FONT></I><FONT face=PMingLiU>維空間向量的外積運算也是在兩個向量之間進行嗎？從公式當中看來顯然不象。那麼象什麼？倒像是在</FONT><FONT face="Times New Roman"><I><FONT face=PMingLiU>n-</FONT></I><FONT face=PMingLiU>1</FONT></FONT><FONT face=PMingLiU>個向量之間進行的，因為，式中第二行至最後一行，各行中的元均可看作是不同向量的各個分量的係數。相反，兩個向量之間若要進行外積運算，是無法使用這種行列式的，因為我們無法在這</FONT><FONT face="Times New Roman"><I><FONT face=PMingLiU>n-</FONT></I><FONT face=PMingLiU>1</FONT></FONT><FONT face=PMingLiU>個行中使另外的</FONT><FONT face="Times New Roman"><I><FONT face=PMingLiU>n-</FONT></I><FONT face=PMingLiU>3</FONT></FONT><FONT face=PMingLiU>個行中的元全部唯一確定。而且在事實上，即使在三維空間中，每次參加外積運算的向量的個數（</FONT><FONT face=PMingLiU><FONT face="Times New Roman">2</FONT></FONT><FONT face=PMingLiU>個）也完全遵循</FONT><I><FONT face=PMingLiU><FONT face="Times New Roman">n-</FONT></FONT></I><FONT face=PMingLiU>１這個規律。</FONT><FONT face=宋体></FONT></FONT></P><FONT size=5><I>　　n</I><FONT face=PMingLiU>維空間向量的外積的公式有些什麼用處呢？按照我們在《高維歐氏幾何學》一書中的敍述，外積有兩大用處：第一，可以將兩個以上的向量正交化；第二，可用來求解</FONT><I>n</I><FONT face=PMingLiU>元線性方程組。這裏我們就不作詳細介紹了。</FONT></FONT><br>

[此贴子已经被作者于2007-7-26 10:57:26编辑过]

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关键词：行列式 正交化 何意義 行列式

这个在空间解析几何里面已经有了那个矩阵的几何意义的说法

你所说的空间解析几何是不是《高等数学》里的内容？那里只讨论了３阶行列式，并没有讨论<EM>n</EM>阶。而且，也不是你所说的那个“矩阵”，而是行列式。