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小王的叔叔要送给小王一份和彩票相关的生日礼物，有两种彩票（M和N），每种彩票中奖的概率都为P，奖金为1000元。现在叔叔给小王两个选择：
1、两种彩票（M和N）各一张；
2、某一种彩票（M或N）两张
如果小王效用函数为u，u(0)=0，另外他是风险厌恶者，请问他会选个？
特此求助各路大牛～助教师兄出的题～实在做不出来了～

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关键词：不确定性 确定性 不确定 性问题 彩票中奖 生日礼物 彩票中奖 助教

选1.风险厌恶者的效用函数，一阶倒数大于0，二阶小于0，可得证。

zcl6062 发表于 2012-12-3 11:32
选1.风险厌恶者的效用函数，一阶倒数大于0，二阶小于0，可得证。

是个好思路啊～多谢～舍友有个思路是用理论推证～如果是同一类彩票～那么其中一张中奖就会降低另一张中奖的概率～所以风险厌恶者会选择获奖概率较高的组合1～因为觉得这么想有些模棱两可～所以在此发帖求助～您的解答也恰与课堂讲授内容一致～只是室友的思路没能找到很好的推翻理由～貌似这种思路并没有考虑到风险偏好者和厌恶者的本质区别～还要劳烦您再次帮忙解惑～先行谢过～

你室友的思路不是不可能, 但在這風險選擇問題裏, P 是給定的, M中獎不會影響N的中獎機會, 也不會影響另一張M中獎的機會

題目本身還沒說明白M 和N 的關係, 我是說, 假設M 和N 是independent
all possible outcomes: {0, 1000, 2000}
under independence, 選項1 就是{ (1-p)^2, 0 ; 2p(1-p), 1000; p^2, 2000}
選項2 就是 { 1-p, 0; 0, 1000; p, 2000} (因為兩張一樣, 中就拿2000, 不中就沒有錢)
去算算便知1 和2 的expected value 都是一樣, 但1的variance 較低, 所以選項2 是選項1的mean-preserving spread, U(.)是concave, 所以選1

vesperw 发表于 2012-12-4 11:50
你室友的思路不是不可能, 但在這風險選擇問題裏, P 是給定的, M中獎不會影響N的中獎機會, 也不會影響另一張 ...

您好～非常感谢您的解答～我先到网上搜了一下mean-preserving spread的定义～如果两种情况下的概率分布照您所说～那么2的确是一个赋予较大收益以更大概率但同时保持均值不变的一个均值保留展形的分布（由于陌生～可能表达得不是十分精确～见谅）～但是我的疑问是为什么两张同类彩票一定要同时中奖或同时不中奖～难道同类彩票存在相关性吗？如果不存在那么是否可以得到跟两类不同彩票一样的结果？还请不吝赐教～

bert7709 发表于 2012-12-4 21:55
您好～非常感谢您的解答～我先到网上搜了一下mean-preserving spread的定义～如果两种情况下的概率分布照 ...

正因為彩票是"同類" , 它們是一樣的, 中就同時中了, 兩張彩票的相關性是 perfectly correlated, or correlation coefficient =1
想想買股票吧, 你去買一手股票, 裏邊例如有2000股, 買時價格每股1元, 現在每股2元, 你淨賺的是2000元, 正因為每張股票都是一樣的
如果現在給的彩票是相關但不是perfect的相關, 例如 第一張中1000元的機會是p, 假設p 不太大, 第二張中的機會是第一張相關, 如果第一張中, 第二張中的機會是p + 0.1, 如果第一張沒中, 第二張中的機會是p - 0.1, 那這選項開2000元的機會是 p*(p+0.1). 這樣想的話, 選項1 中2000的機會是p*p, 第一張的結果不影響第二張的機會
選項2中2000的機會是 p*1 , 因為是一樣.

vesperw 发表于 2012-12-5 02:33
正因為彩票是"同類" , 它們是一樣的, 中就同時中了, 兩張彩票的相關性是 perfectly correlated, or corre ...

我明白了～非常感谢～我们宿舍讨论了一下～最后是以彩票摇号的例子来理解两张彩票一样的含义～看来这是解好这道题的关键～另外似乎应该将效用的期望进行对比～而不是求出期望后对比方差～因为由风险规避的效用函数的凹的性质可以得出qu(0)+(1-q)u(2000)<u(q*0+(1-q)*2000)令q=1/2可得到u(2000)<2u(1000)而两种情况下的效用的期望分别为p^2u(0)+2p(1-p)*u(1000)+(1-p)^2*u(2000)和p*u(0)+(1-p)*u(2000)作差后可以根据之前的出的条件比较大小～再次感谢您的热心解答～

bert7709 发表于 2012-12-6 12:59
我明白了～非常感谢～我们宿舍讨论了一下～最后是以彩票摇号的例子来理解两张彩票一样的含义～看来这是解 ...

一個lottery 和它的mean-preserving spread 比起來, risk averse agent 是會選前者的, 這是jensen inequality 的含意, 所以看lotteries 的期望和方差,  或者 看lotteries 的expected utility 得出的答案是一樣的^^

我编了一道题

假设两种彩票M,N，每种中奖概率都为万分一。市场上分别流通着一万张M彩票和N彩票，奖金均为一亿。
对于风险厌恶者来讲，他会选择：
1）两种彩票各五千张
2）其中某一种彩票一万张

请高人作答

vesperw 发表于 2012-12-6 14:30
一個lottery 和它的mean-preserving spread 比起來, risk averse agent 是會選前者的, 這是jensen inequa ...

哦~jensen enquality~这个也没听说过·助教已经在习题课讲解了答案~他的理解是第二种礼物下的期望效用为2pu(1000)~即奖金最高就是1000元~而两张同类彩票只不过增加了中奖的概率~