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彭实戈教授主要研究成果
一、 倒向随机微分方程
已经成为经典理论的正向随机微分方程描述一个受到随机干扰的客观对象在已知初始条件的情况下的运动规律，当前时刻作为初始条件的数据是确定的，而所获得的解是随机状态。最近十年里，人们对倒向随机微分方程产生了很大兴趣，其求解的时间顺序正好相反：它研究为达到将来的预定目标，如何确定当前的状态和策略。作为终端定解条件的目标（以及环境）是随机的，而所得的当前时刻的解则是确定的。由于随机干扰环境下时间的不可逆性，则两类方程的数学结构和研究方法都有本质的不同。
美国金融数学的学术带头人、哥伦比亚大学教授Karatzas最近在研究倒向随机微分
方程的专门文章中说："倒向随机微分方程的概念是由 Pardoux 和彭引入的"。类似的说法出现在很多文章里，而实际上早在1973年 J. M. Bismut （法国著名数学家、法国科学院院士）引入的随机共轭方程就是一个线性的倒向随机微分方程，并且给出了它的显式解。彭实戈1990年与Pardoux合作发表了题为《具有适应解的倒向随机微分方程》的文章。提出了倒向随机微分方程的一般形式，并且证明了作为其理论基础的解的存在唯一性定理。这篇文章后来引起了一系列重要反响，被称为是倒向随机微分方程的 "Founder Paper"。现在倒向随机微分方程在随机分析、金融数学等领域已经产生了广泛的影响，而BSDE（即倒向随机微分方程 Backward Stochastic Differential Equation）已经成为该领域所熟悉的专用缩略语。倒向随机微分方程理论已经在国际上产生了重要的影响 ，许多国家的金融数学、随机分析、随机控制等领域的学术带头人，如法国的El Karoui、美国的 Karatzas、Protter等都发表了专门文章进行研究，推动了倒向随机微分方程的理论研究与应用。1996年6月在法国的勒芒举行了有法国、中国、美国、德国、意大利、西班牙等国家一些著名学者参加的"倒向随机微分程"学术研讨会。著名的巴黎第六大学概率论实验室在1995-1996学年举行了（每周一次的）"倒向随机微分方程专题讨论班，邀请了许多专家作综述报告，并整理出版了（由El Karoui 教授等主编的）《倒向随机微分方程》一书（Pitman数学丛书）。此书的序言一开始就写道："自从Pardoux和彭于1990年发表了关
于一般存在唯一性结果的Founder Paper以来，倒向随机微分方程已经成为一个有趣的、活跃的和正在扩大的领域。当我们写这个序言的时候，论述这个问题的文章还在增加"倒向随机微分方程理论产生重要的影响，除了由于"它被证实在处理状态受限的问题上是有力的和优雅的工具"以外，还因为它与现代经济金融中的一些核心问题有重要的联系。非常巧合，两年以后（即1992年）著名经济学家Duffie（斯坦福大学）和Epstein(多伦多大学）引入了随机微分效用方程的概念在经济学界产生了很大的影响，他们的文章指出"Pardoux和彭(1990)最近独立地给出了一个比命题A1更一般的结果"。Karatzas 教授在文章中论及由Pardoux和彭"引入倒向随机微分方程"的同时也指出："作为某种倒向随机微分方程的解，Duffie和Epstein（1992）在经济模型中引入了随机微分效用。"
未定权益套期定价理论是现代金融理论的核心。它的一个典型情况就是著名的"Black & Scholes公式"。它被认为是金融经济学的一次革命。而正如法国金融数学的学术带头人El Karoui教授在文章指出："过去五年以来，人们怀着巨大的兴趣看待倒向随机微分方程理论，这是由于它与非线性偏微分方程的联系，以及更一般地，与非线性半群、随机控制问题的联系。与此同时，在金融数学中，未定权益的套期和定价理论被典型地表示为线性倒向随机微分方程"。
二、非线性Feynman-Kac公式
Feynman是国际著名的物理学家，他的Feynman路径积分理论是对量子力学理论的一个重大贡献。以他和著名数学家Kac命名的Feynman-Kac公式是四十年代末获得的，背景就是线性抛物型和椭圆型偏微分方程的解都可以通过倒向随机微分方程的解来给出其概率表示，它的特殊情况就是Feynman-Kac公式。这个结果受到了很大的重视，被称为"推广的Feynman-Kac公式"。事实上，"人们怀着巨大的兴趣看待倒向随机微分方程理论"也是由于发现了"它与非线性偏微分方程的联系"。法国偏微分方程专家Barles教授以《SDE,BSDE and PDE》（《随机微分方程，倒向随机微分方程和偏微分方程》）为题发表文章专门论述了这个问题。著名随机微分几何专家Elworthy综述文章《随机微分几何》的第一节的题目就是"调和映照、倒向随机微分方程和非线性热方程"，详细介绍了著名的Elles-Sampson方法与彭的及Pardoux和彭的及Pardoux和彭的倒向方程的关系。美国的Darling教授也以《用倒向随机微分方程构造G-鞅》为题发表文章讨论这个问题。我国的青年数学家雍炯敏、马进和Protter（美国著名随机分析专家）也通过这个关系获得了正倒向随机微分方程的解的存在唯一性的重要结果。如前面公开发表的评价所指出，这个发现实际上还建立了"倒向随机微分方程与非线性半群和随机控制问题"的内在联系。彭的合作者Pardoux教授在1994年苏黎士世界数学家大会上以《倒向随机微分方程及应用》为题作了45分钟的大会报告，专门介绍"由彭和作者以及由Duffie和Epstein分别独立引进的"倒向随机微分方程理论。Pardoux在一次介绍倒向随机微分方程的大会报告（已经发表）中"特别感谢彭实戈，他在随机分析的这一新篇章的发现中作出了实质性的贡献"。彭于1992年通过法国"领导研究资格"（国家博士）答辩时，由著名数学家、概率论和控制论专家组成的评审委员会的评审报告高度评价彭的工作，指出彭是倒向随机微分方程领域的"开创者"。彭的合作者Pardoux教授在对答辩委员会的报告里特别谈到了倒向随机微分方程和非线性Feynman-Kac公式的发现经过。"1989年我应他（即彭）的邀请访问中国，我们按他的思想一起搞出了一类新型的倒向随机微分方程。当时我还以为这不过是一个新鲜想法，而彭则接着就有了一个完全创新的思想：运用倒向随机微分方程来推广Feynman-Kac公式使之适用于非线性偏微分方程组。"
三、一般最大值原理
50年代后期获得的、以苏联著名数学家庞特里雅金命名的最优控制的最大值原理是现代控制理论的三个里程碑之一。从70年代开始Kushner、Bismut、Bensoussan等著名专家致力于获得随机控制系统的最大值原理，取得了非常重要的成果。但是对于一般随机控制系统（即漂移和扩散都含控制项的系统）却始终没有获得庞特里雅金形式的最大值原理，成了这个领域长期未决的重要难题。彭1990年在SIAM Control杂志发表了《最优控制问题的一般随机最大值原理》。终于圆满地解决了这个难题。综述文章《无限维最优控制理论》对该文的评价是："彭实戈针对这一困难引进了一阶变分方程和二阶变分方程，借助于摄动方法和共轭系统的引入，证明了一般的随机最大值原理，解决了人们长期期望解决的问题"。随机控制系统的最大值原理的综述文章则用了将近一半的篇幅介绍了"Peng's Principle"。
彭实戈教授在领导和推动我国的金融数学这个新兴的交叉学科的发展中起了学术带头人的作用。他是国家自然科学基金"九五"重大项目《金融数学、金融工程、金融管理》的第一负责人。在国家自然科学基金委的支持下，为加强我国自然科学和经济金融学的有机结合，自然科学更好地为发展国民经济服务作出了重要的贡献。
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