关于凹\凸\拟凹\拟凸的讨论!

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关于凹\凸\拟凹\拟凸我依然没弄懂,下面这篇帖子,大家可以再次拓展思路,说说经济学中这四者之间的关系!
https://bbs.pinggu.org/thread-901904-1-1.html
来吧,让我们痛彻心扉的谈一谈,到底是怎么个关系.

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关键词：pinggu thread Ping HTML 痛彻心扉 痛彻心扉 经济学 拓展

1 分清函数和集合，凹函数凸函数是分析性质，凸集是拓扑性质（非凸集就是凹集、而拟凸集、拟凹集是不需要考虑的）

2 具体到函数，还是那句话：紧扣定义。定义中并不假设可微，所以不要把凸函数和凹函数和一阶导数二阶导数随便联系到一起去，这会让你自己把自己搞乱的。

3 画图，定义中是Rn->R的映射，首先画y=f(x)，一元函数，这种图是最直观的，最有利于你理解和区分各种凹凸的概念，接着你可以画无差异曲线z=f(x,y)，这个图并不是那么直观的，因为究竟效用是多少是无法在图上反映出来的，但你应该知道，x、y都变大，z是变大的，所以越往右上方的无差异曲线就代表越大的效用。如果你在同一条无差异曲线上取两个点，那么凹函数和拟凹函数会同时满足，这是因为f(x1,y1)=f(x2,y2)，自然也等于它们的任何线性组合。但如果你在不同的无差异曲线上取两个点，那么拟凹函数是满足的，凹函数却不满足了。

不知道我说的算不算明白。

因为我国数学课程中对于凹凸的定义与欧美的主流说法是相反的。所以建议这个问题还是用英文进行区分，GEOFFREY A. JEHLE 和 PHILIP J. RENY(2011)在ADVANCED MICROECONOMIC THEORY中对凹凸性的问题与凸集（convex sets）的关系作出了如下精彩总结：

f is concave ⇐⇒ the set of points beneath the graph is convex
f is convex ⇐⇒ the set of points above the graph is convex
f quasiconcave ⇐⇒ superior sets are convex sets
f quasiconvex ⇐⇒ inferior sets are convex sets
f concave ⇒ f quasiconcave
f convex ⇒ f quasiconvex
f (strictly) concave ⇐⇒ − f (strictly) convex
f (strictly) quasiconcave ⇐⇒ − f (strictly) quasiconvex


所以以 经典的无差异曲线为例

我们明显可以看出曲线右边为凸集（convex sets）
所以一条同样的无差异曲线的图形：
如果是以x增大而递增（superior set）的 就是 拟凹函数（quasiconcave function），代表：效用函数
如果是以x增大而递减（inferior set）的 就是 拟凸函数（quasiconvex function）

另附凸集（convex set）的解释：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%B8%E9%9B%86

dd_creak 发表于 2013-4-22 21:55
因为我国数学课程中对于凹凸的定义是从苏联翻译过来的，与欧美的主流说法是相反的。所以建议这个问题还是用 ...

这个可以看看苏联经典教材《微积分学教程》看看是苏联反了还是我们反了，也可以翻翻任意一本数学分析教材看看是不是反了
就我的接触来说，认为反的童鞋明显受到了同济那本坑爹的高数的影响

我的理解是：
1）凹、凸的描述与concave,convex相反是因为汉字的形状以及苏联数学教科书的习惯用法
2）拟凹、拟凸是另外两个概念，与凹、凸没有必然的联系。然后凹（凸）函数必然为拟凹（拟凸）函数是必需的。然而，凹（凸）函数同时也是有可能是拟凸（拟凹）的。如y=x*x就是一个明显的凸函数，但是它既是拟凹，又是拟凸的。
3）在经济学很常用的线性约束如I=p*x（p，x均为向量）中，可以证明，对于任意最优化条件的拉格朗日函数L(x,z)(x为向量，z为拉格朗日乘数)，其海赛加边行列式和其判定拟凹性的行列式只有z＊z这个系数上面的差别，因而拉格朗日函数的二阶条件可以转化为最优化条件函数的拟凹（凸）。这一点，在蒋中一《数理经济学的基本方法》中有很详细的阐明。