请教：指数函数期望的求法（如exp(-ax)）

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就是用来求u(x)=Eu(y)（y为随机变量）中的x用的（确定性等价收入），比如u=exp(-az),z是一个随机变量，怎么求确定性的等价收入。谢谢

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关键词：EXP 随机变量 确定性

还需要Var(-az)的值。。。。

给出z的分布才可以求啊。

亲亲lissky 发表于 2013-2-20 22:56
还需要Var(-az)的值。。。。

z~N(0,w^2),但还是不知道怎么求他的期望呢

hugebear 发表于 2013-2-21 08:30
给出z的分布才可以求啊。

z~N(0,w^2)，该怎么求呢，谢谢

johnson90a 发表于 2013-2-21 09:49
z~N(0,w^2),但还是不知道怎么求他的期望呢

exp(-az)=exp(-a*0+0.5*(a^2)*(w^2))
是指数上多了方差的一部分~

在金融学和经济学中，确定性等价收入是指一个无风险的投资或支付，它具有与某个风险投资或支付相同的预期效用。当你面对一个指数型的效用函数 \(u(x)=\exp(-ax)\)，其中 \(a>0\) 是你的风险厌恶系数，而 \(x\) 是随机变量（例如收益），你想要找出确定性的等价收入。

为了找到这个确定性等价收入 \(y\)，我们首先需要计算随机变量 \(x\) 的预期效用。假设 \(x\) 的概率密度函数为 \(f(x)\)，则 \(x\) 的期望效用由下式给出：

\[
Eu(x) = \int_{-\infty}^{\infty} u(x)f(x) dx
\]

对于指数型效用函数 \(u(x)=\exp(-ax)\)，预期效用计算如下：

\[
Eu(x) = E[\exp(-az)] = \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-az)f(z) dz
\]

确定性等价收入 \(y\) 的定义是：它应该具有与随机变量相同的预期效用，即

\[
u(y)=Eu(x)
\]

将指数型效用函数代入上式：

\[
\exp(-ay) = E[\exp(-az)]
\]

取对数得：

\[
-ay = \ln(E[\exp(-az)])
\]

因此，

\[
y = -\frac{1}{a} \ln(E[\exp(-az)])
\]

这就是确定性等价收入的表达式。它取决于随机变量 \(z\) 的概率分布和你的风险厌恶系数 \(a\)。

在实践中，计算 \(E[\exp(-az)]\) 可能需要具体知道 \(z\) 的分布形式（如正态、指数等）。例如，如果 \(z \sim N(\mu, \sigma^2)\)，则可以通过查找或推导相应的积分公式来得到 \(y\)。这通常涉及高斯积分和一些数学技巧。

在处理实际问题时，你可能需要使用数值方法或近似解来计算上述的期望值，尤其是在分布复杂或者没有封闭解析形式的情况下。

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