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Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Dependence chart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Index ofnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
1 Robert Brown’s new thing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Brownian motion as a Gaussian process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Thefinite dimensional distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Invariance properties of Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Brownian Motion in Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Constructions of Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 The Lévy–Ciesielski construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Lévy’s original argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Wiener’s construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Donsker’s construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 The Bachelier–Kolmogorov point of view . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 The canonical model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1 Wiener measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Kolmogorov’s construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Brownian motion as a martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1 Some ‘Brownian’martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Stopping and sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 The exponential Wald identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6 Brownian motion as a Markov process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1 TheMarkov property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2 The strongMarkov property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3 DesiréAndré’s reflection principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4 Transience andrecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5 Lévy’s triple law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.6 Anarc-sine law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.7 Some measurability issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7 Brownian motion and transition semigroups . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.1 The semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2 The generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 The resolvent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.4 The Hille-Yosida theorem and positivity . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.5 Dynkin’s characteristic operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8 The PDE connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.1 The heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2 The inhomogeneous initial value problem . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.3 TheFeynman–Kac formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4 The Dirichlet problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9 The variation of Brownian paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.1 The quadratic variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.2 Almost sure convergence of the variation sums . . . . . . . . . . . . 140
9.3 Almost sure divergence of the variation sums . . . . . . . . . . . . . 143
9.4 Lévy’s characterization ofBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . 146
10 Regularity of Brownian paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.1 Hölder continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2 Non-differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.3 Lévy’s modulus of continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11 The growth of Brownian paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.1 Khintchine’s Law of the Iterated Logarithm . . . . . . . . . . . . . . 164
11.2 Chung’s ‘other’ Law of the Iterated Logarithm . . . . . . . . . . . . 168
12 Strassen’s Functional Law of the Iterated Logarithm . . . . . . . . . . 173
12.1 The Cameron–Martin formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.2 Large deviations (Schilder’s theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.3 The proof of Strassen’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
13 Skorokhod representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
14 Stochastic integrals: L2-Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
14.1 Discrete stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
14.2 Simple integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
14.3 Extension of the stochastic integral to L2
T . . . . . . . . . . . . . . . 211
14.4 Evaluating Itô integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
14.5 What is the closure of ET? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
14.6 The stochastic integral formartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

15 Stochastic integrals: beyond L2
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
16 Itô’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
16.1 Itô processes and stochastic differentials . . . . . . . . . . . . . . . . 233
16.2 The heuristics behind Itô’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
16.3 Proofof Itô’s formula (Theorem16.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
16.4 Itô’s formula for stochastic differentials . . . . . . . . . . . . . . . . 239
16.5 Itô’s formula for Brownian motion in Rd . . . . . . . . . . . . . . . 242
16.6 Tanaka’s formula and local time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
17 Applications of Itô’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
17.1 Doléans–Dade exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
17.2 Lévy’s characterization ofBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . 253
17.3 Girsanov’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
17.4 Martingale representation – 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
17.5 Martingale representation – 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
17.6 Martingales as time-changedBrownianmotion . . . . . . . . . . . . 263
17.7 Burkholder–Davis–Gundy inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
18 Stochastic differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
18.1 The heuristics ofSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
18.2 Some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
18.3 Existence and uniqueness of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
18.4 Solutions as Markov processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
18.5 Localization procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
18.6 Dependence on the initial values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
19 On diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
19.1 Kolmogorov’s theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
19.2 Itô’s theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
20 Simulation of Brownian motion by Björn Böttcher . . . . . . . . . . . . . 312
20.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
20.2 Normaldistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
20.3 Brownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
20.4 Multivariate Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
20.5 Stochastic differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
20.6 MonteCarlomethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
A.1 Kolmogorov’s existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
A.2 Apropertyof conditional expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

A.3 From discrete to continuous time martingales . . . . . . . . . . . . . 335
A.4 Stopping and sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
A.4.1 Stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
A.4.2 Optional sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
A.5 Remarks on Feller processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
A.6 The Doob–Meyer decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
A.7 BV functions and Riemann–Stieltjes integrals . . . . . . . . . . . . . 356
A.7.1 Functions of bounded variation . . . . . . . . . . . . . . . . 356
A.7.2 The Riemann–Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
A.8 Some tools fromanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
A.8.1 Gronwall’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
A.8.2 Completeness of theHaar functions . . . . . . . . . . . . . . 361
A.8.3 A multinomial identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
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