方差互换的问题

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求解释一下为什么给定远期开始方差互换的本金值，一年期和3年期的方差互换的本金值就是如图中公式所说的呢？
（文章取自Bossu在Wilnott magazine上发的方差互换的介绍）

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高深的问题！

首先你得把整个背景故事脑子里过一遍。

现在的情景是：你想bet一个1Y＊2Y的forward variance（例如是long），那么策略很简单，肯定是long 3Y spot＋short 1Y spot。现在你想算的是我该怎么分配我的资金在这个1Y和3Y上才能使得等同于我投资了100万在forward （1Y＊2Y）上。

Variance之间有一个你图里提到的线性关系即：
3*Var3Y=1*Var1Y+2*FwdVar1Y*2Y

显然可以发现

3／2*Var3Y-1／2*Var1Y＝FwdVar1Y*2Y，即复制一份FwdVar1Y*2Y，需要long 3/2份3Y short 1/2份的1Y，也就是说这么分配资金就能复制出一份远期。所以是这么一个关系。

best，

Chemist_MZ 发表于 2014-4-3 08:06
首先你得把整个背景故事脑子里过一遍。

现在的情景是：你想bet一个1Y＊2Y的forward variance（例如是lon ...

为什么long 3Y spot＋short 1Y spot可以静态复制forward start variance swap? long 3Y spot的payoff在T=3，而short 1Y spot的payoff在T=1，forward start variance swap的payoff在T=3并不匹配啊

cooper56 发表于 2014-4-3 10:17
为什么long 3Y spot＋short 1Y spot可以静态复制forward start variance swap? long 3Y spot的payoff在T= ...

这个问题你可以类比forward rate。

例如你要复制一个long position 1Y*2Y的远期利率，那我们都知道怎么做long 3Y+short 1Y 通过调节适当的本金比例就能做到。

利率这个问题比较好想是因为存钱是一个看得见的交易，而variance看不见，所以比较抽象。存1Y，再存两年和直接存三年显然要一样，否则就有套利。

你可以这么直观去理解，因为你要交易的资产是从第二年开始第三年结束，那么显然首先你肯定要long一个3Y的，而后short一个1Y的cover掉第一年的risk，这样你就可以得到一个远期。

至于你说的payoff的时间匹配问题，短的contract你可以认为是一种hedge的工具，第一年末的时候显然得有个东西把3年的contract的第一年给cover住（因为你只想take后面的风险）。

best，

你的意思是forward start variance swap的K(1*2)不是fair的，此时在T1有现金流，这样现金流就可以匹配了，那么此时k1,K(1*2),k3之间应该有无套利关系吧，可以这么理解么

Chemist_MZ 发表于 2014-4-3 11:13
这个问题你可以类比forward rate。

例如你要复制一个long position 1Y*2Y的远期利率，那我们都知道怎么 ...

你的意思是forward start variance swap的K(1*2)不是fair的，此时在T1有现金流，这样现金流就可以匹配了，那么此时k1,K(1*2),k3之间应该有无套利关系吧，可以这么理解么

cooper56 发表于 2014-4-3 12:08
你的意思是forward start variance swap的K(1*2)不是fair的，此时在T1有现金流，这样现金流就可以匹配了， ...

这个fair strike怎么来的？

cooper56 发表于 2014-4-3 12:11
这个fair strike怎么来的？

嗯，你可以这么理解。因为fwd start的fwd在开始的时候是不fair的，相当于先要交钱（或者收钱）把合约的value重置成0才能得到这个contract。

对于那个strike的问题。3*Var3Y=1*Var1Y+2*FwdVar1Y*2Y，这个线性关系其实就是无套利条件（有点像远期利率：存1年再存两年，和直接存三年一样）。你也知道他说是strike，其实fwd contract那个K是指当时的fair的forward price。因此3／2*Var3Y-1／2*Var1Y＝FwdVar1Y*2Y。因为他quote的是volatility的strike，而线性关系是对variance成立，因此开根号即可。（他的term sheet里面有variance strike和volatility strike，显然他的算例里面的数量级是指的volatility strike）。

best，

Chemist_MZ 发表于 2014-4-3 21:28
嗯，你可以这么理解。因为fwd start的fwd在开始的时候是不fair的，相当于先要交钱（或者收钱）把合约的va ...

thanks,搞清楚了