AC为序列的自相关系数,即t期序列与t-k期序列的相关系数;PAC为序列的偏相关系数,即t期序列对t-1,t-2,……,t-k期序列做回归时的偏回归系数。Q统计量服从卡方分布,从Q的计算公式可知,Q的大小与自相关系数的大小呈正相关,因而当自相关系数越大,样本Q统计量越大,比它更大的Q统计量值越少,P值越小,越能拒绝自相关系数全为0的原假设,即序列存在自相关关系。另外,Q统计量还与滞后期K有关,是一个关于各期自相关系数平方的累积值。
其实,观察自相关图与偏相关图最主要的目的还是确定序列的ARMA(p,q)模型的具体形式。首先,需要明确这样几对概念:
第一,自回归过程与移动平均过程。自回归由序列的滞后变量的线性组合以及白声噪(符合0均值固定方差的随机干扰项)相加而成,移动平均过程为白声噪的线性组合构成;
第二,拖尾和截尾。这一对概念从图表上很容易看出,前者指AC或者PAC呈几何衰减(指数式衰减或者正弦式衰减),后者指AC或者PAC在某一阶之前明显不为0,之后突然接近或者等于0.其实,从字面上也很好理解,拖尾就是拖拖拉拉,截尾就是抽刀断水。
其次是对ARMA模型的分解。
- AR(p)模型,从自相关函数ACF来看,在自回归方程的基础上可以很简单地构造自相关系数,最后发现自相关系数等于w^k(w为自回归系数),对于平稳时间序列(注意这一前提条件,如果放开这一条件图形将会很难识别),|w|<1,所以当w>0时,ACF呈现为指数式衰减至0。当w<0时,ACF则正负交替呈指数衰减至0,整体表现则是正弦式衰减;从偏相关函数PACF来看,这就相当明显了,因为PACF与自回归方程的形式完全一样,只是自回归方程只有滞后p期,而PACF则有更多的滞后项。于是乎,很明显,当k<=p,偏相关系数不等于0,当k>p,偏相关系数等于0,明显呈现出截尾现象。
- MA(q)模型,从自相关函数ACF来看,在移动平均方程的基础上也可以很简单地构造自相关系数,这时候的自相关函数为分段函数,当k<=q,偏相关系数不等于0,当k>q,偏相关系数等于0,明显呈现出截尾现象;从偏相关函数PACF来看,任何一个可逆的MA(q)过程都可以转换成一个无限阶、系数按几何衰减的AR过程(将白噪声替换为序列的滞后形式即可),呈现拖尾现象。与AR(p)不同的是,当v>0(v为移动平均系数)时,PACF呈现为交替式正弦衰减。当v<0时,PACF则呈指数衰减至0。ARMA(p,q)模型则是两者的结合,实际判别p、q值时还是比较依赖经验的。