求解 建模估算上海地铁2号线一天的营收

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昨日去一家美国公司面试，遇到一道题：建模估算上海地铁2号线一天的营收。
虽然面试已结束，但对这题还是毫无头绪，特此请求大神帮忙，不胜感激。

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关键词：上海地铁 不胜感激 美国公司 上海地铁 美国公司

如果出于某种目的，我们就是不能去询问地铁管理内部的人员和它们系统，只能从外界的角度去看，
只能用公共的信息去做这件事情的话，

2号线站点一共有n，每个站点是Si，两站点之间的里程数d（Si，Sj），两站点之间的计价p（Si，Sj），
其中i、j（- {1,2,...,n}，这些信息一定能得到。

乘客进入2号线的方式有两种，从2号线的进站口进，从其他线换乘2号线；
同样的，乘客离开2号线，有可能出站，有可能去换乘其它线；
换乘有时候需要闸机验票，有时候不需要；需要闸机验票的我们就不视为换乘了；

我们选择一个特定的日期，在2号线每个进出站口，安装E[ai+bi]个进出站人口计数器,计数进闸机刷卡的人次，
其中i 遍历1 到 n，ai 表示 i 站点进站口的数量 bi 表示 i 站点出站口的数量，计数一天进出站人的数量，E[] 表示加总吧，

就有数据

Mai：该天 i  进站口进站人次  Mbi：该天 i  出站口出站人次

首先能得到的是| E[Mai] - E[Mbi] |

其中E[Mai] 里面包含了从2号线站点进站，同时，从2号线站点出站 或者从其他线 站点出站的人次
其中E[Mbi] 里面包含了从2号线站点进或者 从其他站点进，同时 从2号线站点出站的人次

收费的完成必须包含一次进站，一次出站，

其实我们就看到这个问题是一个图论里面的问题，考虑到，不管是从 i 站到 j站，还是从 j 站 到 i 站的收费都是一样的，我们的目的是估算营收，那么这个 图问题 呢，能归结为一个无向图的问题。

这里就好像必须显示出模型的局限性，问题的关键就在于我们身处于外部，没办法跟踪到换乘的人最终是从2号线之外的哪个
站出的，和，到底有多少人次从2号线出，是从别的线换乘过来的，

这时，我们假设cai 是从2号线之外的线换乘过来，在 i 站进入2号线，而我们没有统计到的人次，因为没有在i处闸机验票，
                  假设cbi是从Si 站出去换乘其它的线，而我们没有统计到的人次

接下来 我们就能得到一个模型了， 我们就实在不考虑，钻闸机进出站的，能被我们的计数器统计到而不能被地铁系统统计到的人了！他们不贡献营收，却被我们观测了，实际操作时可以忽略这部分数量，也可以剔除。

    E[Mai+cai]=E[Mbi+cbi], i 遍历1,2,3, ...,n

其实这成为了帮我们解决问题的一个条件，

那么，我们要求的问题，实际就是：

   E[  E[  p（Si，Sj）* L(Si ,Sj )] ] i，j 需要遍历1,2,3...,n，

其中 L(Si ,Sj )就表示从 i 站 到 j 站这一天的人次，包括从 i 站进，从 j 站出的人次，和，从外线转到2号线 i
站，从 j 站 出的人，和 从 i 站进没从 j 站出但从 j 站换乘去其他站的人次，写出来就是

L（Si，Sj）= L0（Si，Sj）+ cai + cbi

接下来，我们就要把我们统计到的信息，转化为我们要求的信息，也就是要发现，进站人次，出站人次，和
从i 站进从 j 站出的人次之间的关系了，（看来为了适应模型的简便性，我们还是要将该问题纳入一个有向图的问题。）

进站人次      Mai=E [ L（Si , Sj）],其中，需要，j 遍历1,2，... , n
出站人次      Maj=E [ L（Si , Sj）],其中，需要，i  遍历1,2，... , n
============================================================================
现在总结一下，我们得到的模型，
   
                     求： E[  E[  p（Si，Sj）* L(Si ,Sj )] ] i，j 需要遍历1,2,3...,n，其中i，j是有先后的，
           
            已知条件： E[Mai+cai]=E[Mbi+cbi], i 遍历1,2,3, ...,n
                            L（Si，Sj）= L0（Si，Sj）+ cai + cbi
                            Mai=E [ L（Si , Sj）],其中，需要，j 遍历1,2，... , n，即Si
                            Maj=E [ L（Si , Sj）],其中，需要，i  遍历1,2，... , n
                            Mbi=E [ L（Si , Sj）],其中，需要，j 遍历1,2，... , n
                            Mbj=E [ L（Si , Sj）],其中，需要，i  遍历1,2，... , n

                            已知，Mai、Mbi 是正整数。
============================================================================
分析整个问题，这好像是一个二部图，就是知道了顶点的度，需要求边的个数，所以，接下去的问题的重点，就是把这个问题解出来。

不难发现要解的问题是线性问题，只要我们求出L(Si ,Sj )，就能得到最后的答案，为了得到答案，我们清晰化这个图。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
但是我们只知道，这个二部有向图的所有点的出度和入度，也就是，我们把二号线的站点看做了二部图的点，
把从i 到 j 是Si 点 到 Sj 点的有向边，我们把这个图叫做G：
                          
  G的点就是2号线的所有站点（注意，包括两个方向），G的边就是某个人一次从2号线站点上并且在2号线站点下乘地铁行为。

               
  我们看到如果我们研究的问题其实是终点 或者 始点是2号线的有向图问题，我们将牵扯到其他地铁线的部分也考虑进来，形成
一个G*图，就是包含Non Line 2 部分的图。

G*的边就是某人一次乘地铁的行为经过了2号线的站点（注意，不一定以2号线的站点作为始点或终点），G*的点就是能允许这种行为发生的所有地铁线路上的站点。         
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                Mai 是Si 站的出度，Mbi是Si 站的入度，也就是，
                inDeg（G,Si）=Mbi + cai ，outDeg（G，Si）=Mai + cbi

                L(i，j)是整数，而且肯定有界，所以一定可以找到可行解，而且，如果解的组数越少，越好，也就是我们至少
可以得出2号线营收的一个范围区间。

一个时间段内地铁的班次*该时间段总乘客上车人数*该时间段乘客的平均坐乘站数*每站分摊价格，然后把一整天所有时间段的数据加总不就行了。

EchoEstelle 发表于 2014-7-11 10:48
如果出于某种目的，我们就是不能去询问地铁管理内部的人员和它们系统，只能从外界的角度去看，
只能用公共 ...

太专业了， 膜拜！

EchoEstelle 发表于 2014-7-11 10:48
如果出于某种目的，我们就是不能去询问地铁管理内部的人员和它们系统，只能从外界的角度去看，
只能用公共 ...

太专业了， 膜拜！