卢卡斯的那棵树

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有个朋友老想找卢卡斯树的不自在，ok，我就来仔细谈谈卢卡斯的那棵树，准确地说，卢卡斯1978年发表在econometrica上的asset price in an exchange economy一文。

此文共18页，据我所知，卢卡斯在资产定价上没有写过其他文章，但此文引用率之高，名声之响，不逊于他的money neautrality和on the mechanics of economic development两篇文章，为什么呢？至少在我看来，这篇文章写得确实是不错的。

这篇文章首先开宗明义，本文分析的是一种不可储藏物品，同质消费者，交换经济下的均衡资产价格，然后他假设商品完全由不同的生产单位生产出来，生产过程外生于模型，完全由状态决定，产量服从马尔可夫过程，这些生产单位的所有权由竞争性股票市场决定，每个企业会发行一单位股票，这张股票是可以无限分割的，股票在发放红利以后在市场上进行交易。

由于是同质消费者，所以一个人就可以了，因为是均衡定价，所以可以得出两个市场出清条件，一个是产品市场出清，即消费=产出，一个是股票市场出清，也就是这个代表者消费者在每期最后手里都拿着（1,1,1...,1)的股票张数。按照惯例，我们把产品的价格单位化成1，通过市场出清条件，我们可以把股票的价格向量表示成产出向量的函数，再加上产量服从马尔科夫条件，我们得到产量的转移方程F(y)，我们把p(y)和F(y)代入消费者的约束最优化问题，离解决问题就不远了。

聊聊预算约束条件，你手头有z的股票说明什么，说明你的财富有两块，一块是股票的价值，一块是股票对应的产品的价值，要知道，股票是代表着所有权啊，这就是YZ+P(y)Z, 你用这些来干什么呢，一方面你要购买一些消费品，另一方面你还可以购买一些股票，这就是C+P(Y)X，这就搞定了，然后写出贝尔曼方程， 特别提一下，为什么卢卡斯要说在分红以后再进行交易，这就保证了你即使卖掉你手上的股票，你也已经获得这一期的红利也就是yz了。

ok，到了我的朋友要发难的地方了。

[此贴子已经被作者于2008-5-5 5:59:03编辑过]

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关键词：卢卡斯 econometrica Development Econometric Mechanics 卢卡斯

在第四节一开始，卢卡斯提出了定理1，定理1的内容是：给定p(y)是连续的，对每一个p(y)，都有唯一的，有界的，连续的，非负的v(z,y;p)，这个方程满足(i)，且v(z,y;p)在y给定的情况下，关于z是递增的，且是凹的。然后是定理2，卢卡斯利用一阶条件和定理2，得出了(6)，我的朋友对(6)意见很大，因为他认为如果把约束条件代入目标函数，无论如何都应该有价格的，接着他就立刻下结论，卢卡斯为了避免价格变化影响效用，故意瞒天过海，实在是学风不端，然后我的朋友很得意地说，卢卡斯骗得了别人，怎么能骗得了他呢？

我提醒下我的这位朋友，卢卡斯在(6)前讲了一段话，Now,in equilibrium......，卢卡斯在这篇文章里一直致力于求解资产的均衡价格，而要求均衡价格，消费也好，资产份额也好，都必须满足市场出清条件，卢卡斯在这里代入的是市场出清条件，市场出清条件自然不需要价格了。

由于没有给定效用函数形式，因此我们不能求出均衡资产价格来，在通过对偶原理进行了另一种方法的推导并研究了均衡的稳定性之后，卢卡斯介绍了一些例子，第一个例子是线性效用函数，得出的股票价格是标准的股利贴现，事实上线性效用函数等价于消费者风险中性，这时候贴现过的真实世界的概率也就是风险中性测度的概率了。第二个例子是假设风险厌恶并且只有一种资产，首先，为了简化，文章假设y是一个独立的随机变量序列，这时候转移方程就退化成了分布函数，卢卡斯据此得出：股票的收入价格弹性等于相对风险厌恶，然后，卢卡斯放松假设，要求产出的残差项自相关，并且产出的微分方程的根在0-1之间，由此，卢卡斯推出了（20），同样是非常漂亮的结果，其中用马尔可夫过程的转移矩阵来描述information effect很巧妙。结论是：尽管好消息可以带动股价的上升，但是，实际产出对股价的影响依然是不清楚的。第三个例子是许多相互独立的资产，得出的结论是，股票的均衡价格近似等于总产出的平均值。

第八节，卢卡斯讨论了鞅性质，结论是，根据（6），鞅性质在跨期边际替代率递减的情况下不被满足。

第九节是结论，卢卡斯清晰地指出，我们可以构造出价格服从鞅性质而市场有效的例子，我们也可以构造出消费者理性并且信息完全但是价格不服从鞅性质的例子，因此，随机游走是市场有效性的既非充分又非必要条件。然后，卢卡斯指出，此文主要是方法论性质的，在这篇文章基础上可以考虑放松时间可加性以及明确的资本积累过程，不过，很明显，卢卡斯觉得这些玩法意思不大。

我花了一夜时间，非常粗浅的介绍了这篇老掉牙的文章，主要是因为有人错误地理解了这篇文章并得出了让我很不舒服的结论，自己喜欢的文章就像自己的女朋友，总不能女朋友被别人骂了都不辩解几句的吧。

[此贴子已经被作者于2008-5-5 6:18:10编辑过]

 hehe如果卢卡斯这个东西真是你女朋友,我保证不会去动她:)

卢卡斯这个模型，显然是存在问题的.这个问题跟CAPM的问题一样,最初始的资产价格,究竟是否为均衡价格,是要经过优化证明而得到,而不是首先假设它就均衡----否则就不需要我们定价了.因此,就不存在说什么初始收入约束为既定的问题:均衡价格都不知道,如何来初始收入约束既定?你已经假定了消费品的价格为标准1,则资产品的价格变化,就必然导致总价值收入变化----即使消费品和资本品实物数量并未变化.

所以,我们在优化此模型时,就必须假定初始收入约束为未知数,当然,资产品价格也为未知数.

然后我们根据外生消费数量确定均衡收益率----注意,这个均衡收益率是初始资产品处于均衡价格时的收益率,而不是资产品的初始价格.而既然资产品的初始价格和未来价格我们都不知道,则这个均衡收益率就毫无意义----我们知道,知道均衡收益率后,我们要么要知道未来的收益绝对量,才能计算当前的均衡价格,或者要知道当前的均衡价格，才能计算未来收入的绝对量.

慢着,你可能要说了,卢卡斯模型中,可以通过均衡收益率-当前均衡价格-未来均衡价格的关系,构造迭代公式,一直递推到无穷,然后取极限,就可以将未来价格转换成消费或者红利,从而计算出当前均衡价格.

这里就有一个很致命的问题:卢卡斯宣称它的这个模型能很容易扩展到资本积累的模型----只不过那仅仅是玩弄的花样更多而已----他显然错了.问题在于,取红利中不同比例的消费和对应的资本积累,将得到不同的资产均衡现价.

那么,红利中不同比例的消费和积累,将导致不同的资产均衡现价,我们要问:一个资产有那么多均衡价格吗?

进一步追问:既然消费比例和积累比例外生且影响资产均衡价格,那就是说,在效用函数不变、资产红利生产能力不变、人们理性预期的情况下，未来市场变化导致的消费和投资比例变化，就将改变资产均衡价格。而这种改变，是没有包含进定价公式的。

那就是说，市场因素，并没有包括进卢卡斯资产定价中。这样，就如同CAPM排斥了人们的市场风险偏好，衍生品定价排斥了市场系统风险，而卢卡斯定价，也排斥了市场结构风险。计算出来的结论，就好象市场不存在一般。然后大家开始拿什么价格核去乱套——根本不知道在市场变化的情况下，价格核毫无意义。

以下是引用remlus在2008-5-5 5:57:00的发言：

在第四节一开始，卢卡斯提出了定理1，定理1的内容是：给定p(y)是连续的，对每一个p(y)，都有唯一的，有界的，连续的，非负的v(z,y;p)，这个方程满足(i)，且v(z,y;p)在y给定的情况下，关于z是递增的，且是凹的。然后是定理2，卢卡斯利用一阶条件和定理2，得出了(6)，我的朋友对(6)意见很大，因为他认为如果把约束条件代入目标函数，无论如何都应该有价格的，接着他就立刻下结论，卢卡斯为了避免价格变化影响效用，故意瞒天过海，实在是学风不端，然后我的朋友很得意地说，卢卡斯骗得了别人，怎么能骗得了他呢？

我提醒下我的这位朋友，卢卡斯在(6)前讲了一段话，Now,in equilibrium......，卢卡斯在这篇文章里一直致力于求解资产的均衡价格，而要求均衡价格，消费也好，资产份额也好，都必须满足市场出清条件，卢卡斯在这里代入的是市场出清条件，市场出清条件自然不需要价格了。

由于没有给定效用函数形式，因此我们不能求出均衡资产价格来，在通过对偶原理进行了另一种方法的推导并研究了均衡的稳定性之后，卢卡斯介绍了一些例子，第一个例子是线性效用函数，得出的股票价格是标准的股利贴现，事实上线性效用函数等价于消费者风险中性，这时候贴现过的真实世界的概率也就是风险中性测度的概率了。第二个例子是假设风险厌恶并且只有一种资产，首先，为了简化，文章假设y是一个独立的随机变量序列，这时候转移方程就退化成了分布函数，卢卡斯据此得出：股票的收入价格弹性等于相对风险厌恶，然后，卢卡斯放松假设，要求产出的残差项自相关，并且产出的微分方程的根在0-1之间，由此，卢卡斯推出了（20），同样是非常漂亮的结果，其中用马尔可夫过程的转移矩阵来描述information effect很巧妙。结论是：尽管好消息可以带动股价的上升，但是，实际产出对股价的影响依然是不清楚的。第三个例子是许多相互独立的资产，得出的结论是，股票的均衡价格近似等于总产出的平均值。

第八节，卢卡斯讨论了鞅性质，结论是，根据（6），鞅性质在跨期边际替代率递减的情况下不被满足。

第九节是结论，卢卡斯清晰地指出，我们可以构造出价格服从鞅性质而市场有效的例子，我们也可以构造出消费者理性并且信息完全但是价格不服从鞅性质的例子，因此，随机游走是市场有效性的既非充分又非必要条件。然后，卢卡斯指出，此文主要是方法论性质的，在这篇文章基础上可以考虑放松时间可加性以及明确的资本积累过程，不过，很明显，卢卡斯觉得这些玩法意思不大。

我花了一夜时间，非常粗浅的介绍了这篇老掉牙的文章，主要是因为有人错误地理解了这篇文章并得出了让我很不舒服的结论，自己喜欢的文章就像自己的女朋友，总不能女朋友被别人骂了都不辩解几句的吧。

tinghao

没有什么初始的价格，要解的是均衡价格路径，你学过一般均衡，就应该知道，外生的仅仅是偏好，禀赋和技术，价格是均衡解。只要你跟我提到初始价格这个词，我就可以断言你说的不是一般均衡。

你的脑袋里老是想着从非均衡到均衡的调整过程，但人家没考虑这个问题。

只要满足一系列条件，竞争性市场均衡价格必然是存在的，这是阿罗德布鲁证明的，你看看卢卡斯这篇文章，就会发现竞争性市场一般均衡存在的条件它都是满足的，这种情况下，写出相对价格是很容易的事情。

在一般均衡模型里，所有的价格都是内生变量，内生变量是不能外生变化的，所以你千万不要认为消费品价格为1，就认为消费品价格是外生的，之所以把它单位化成1，是根据瓦尔拉斯定律。你不妨看看原文，预算约束和商品市场出清联立是不是很容易推出资产市场出清，所以你就算把收入定成1，也没有任何问题。

实在忍不住问你个问题，你是不是没学过一般均衡理论，看你对博弈论模型意见不是很大，看来博弈论是学过的。

[此贴子已经被作者于2008-5-6 19:28:15编辑过]

呵呵初始价格就是我们需要计算的均衡价格。资产定价的目的，不就是要算这个初始价格么？

以下是引用remlus在2008-5-6 19:05:00的发言：

没有什么初始的价格，要解的是均衡价格路径，你学过一般均衡，就应该知道，外生的仅仅是偏好，禀赋和技术，价格是均衡解。只要你跟我提到初始价格这个词，我就可以断言你说的不是一般均衡。

我当然知道人家没有考虑这个问题，所以我才有那么大的把握说他们都是错的。

我从来没有否认只要满足一系列条件，竞争性市场均衡价格必然是存在的。我说I恒等于S也就是在说这个。

不过，均衡价格是解出来的，是通过一般均衡计算出来的。换句话说，在我们通过数学式子计算出来之前，我们必须假设它是未知数。

这个最简单的道理，不会是很高深吧？

那么与均衡价格相关的其它变量，例如协方差等，就应当在式子中写成用这个未知数表示的形式。

换言之，这一切，都是要“求解”得到才行的。

你不能把市场上已知的价格作为均衡价格——那样还要你来求什么？

我从来没有认为消费品的价格定为1就是外生的，我没有这样说过。我只说了卢卡斯定价中，资产品积累的速度将影响均衡价格。卢卡斯定价中没有把资本品积累速度包含进定价公式中，也没有把它内生化。

这个与博弈论无关，也与非均衡无关。我说过了，这个是初中生都知道的道理：我们要求解一个值，首先要把它假设为未知数x。

以下是引用remlus在2008-5-6 19:14:00的发言：

你的脑袋里老是想着从非均衡到均衡的调整过程，但人家没考虑这个问题。

只要满足一系列条件，竞争性市场均衡价格必然是存在的，这是阿罗德布鲁证明的，你看看卢卡斯这篇文章，就会发现竞争性市场一般均衡存在的条件它都是满足的，这种情况下，写出相对价格是很容易的事情。

在一般均衡模型里，所有的价格都是内生变量，内生变量是不能外生变化的，所以你千万不要认为消费品价格为1，就认为消费品价格是外生的，之所以把它单位化成1，是根据瓦尔拉斯定律。你不妨看看原文，预算约束和商品市场出清联立是不是很容易推出资产市场出清，所以你就算把收入定成1，也没有任何问题。

实在忍不住问你个问题，你是不是没学过一般均衡理论，看你对博弈论模型意见不是很大，看来博弈论是学过的。

知道红利是什么么，在这个模型里红利就是产出y,也就是结的果子，消费者每期的财富包括两部分，一部分是手里的股票的市场价值，p(y)z,一部分是股票的红利也就是产出的市场价值，就是1乘以yz，这里的y是向量，z也是向量，y表示每张股票对应的产出，z表示每张股票的份额，每种股票就一张，但是股票是可以无限分割的。在这里红利是由外生马尔可夫过程决定的，是外生的。

知道协方差是什么么？capm是股票收益和市场组合收益率的协方差，ccapm是股票收益率和定价核的协方差，在ccapm里面，定价核是贴现过的跨期边际替代率。均衡的时候它是y的函数。

在一个交换经济里面，消费品是易腐的，是积累不起来的。所以你说的什么资本品积累速度影响均衡价格，不知道从何说起。

这个模型里，状态变量是y,控制变量是z,c，均衡的时候z=(1,1...1),c=y，这个时候的均衡p可以写成p(y)。你还有什么问题么？

貌似你最近对随机动态一般均衡理论很来劲，闲着没事你不妨推推郭凯老板rogoff的redux模型，也是一般均衡，去玩吧，非常好玩的模型。看看你能不能挑出一对毛病来，cheer up

 请你解释你自己在帖子说的"然后，卢卡斯指出，此文主要是方法论性质的，在这篇文章基础上可以考虑放松时间可加性以及明确的资本积累过程，不过，很明显，卢卡斯觉得这些玩法意思不大。"麻烦解释清楚"明确的资本积累过程"是什么意思.

一个有红利的模型就不是纯粹交换模型,而是包含生产的交换模型----哪怕这种生产是个体鲁滨逊性质的.不能研究资本积累与消费的资产定价,就完全没有任何价值.

我对什么随机过程的一般均衡没有任何兴趣.从根本上说,我认为这些东西没有任何价值,就如同你在前面承认它跟现实完全不是一回事一样.我之所以明知毫无价值,但还是和你们讨论这个框架,甚至连在我的版面上简练都笑我怎么局限在新古典的框架内和你们争论,我没有告诉他,在对手的框架内让对手明白自己的荒谬,比跳出对方的框架来批驳对手,要有力得多.如此而已.

不过即使如此,最近关于随机过程的一般均衡的精力耗费,不是我主动来劲的,而是别人先来劲,我总得应战吧?

以下是引用remlus在2008-5-6 21:26:00的发言：

知道红利是什么么，在这个模型里红利就是产出y,也就是结的果子，消费者每期的财富包括两部分，一部分是手里的股票的市场价值，p(y)z,一部分是股票的红利也就是产出的市场价值，就是1乘以yz，这里的y是向量，z也是向量，y表示每张股票对应的产出，z表示每张股票的份额，每种股票就一张，但是股票是可以无限分割的。在这里红利是由外生马尔可夫过程决定的，是外生的。

知道协方差是什么么？capm是股票收益和市场组合收益率的协方差，ccapm是股票收益率和定价核的协方差，在ccapm里面，定价核是贴现过的跨期边际替代率。均衡的时候它是y的函数。

在一个交换经济里面，消费品是易腐的，是积累不起来的。所以你说的什么资本品积累速度影响均衡价格，不知道从何说起。

这个模型里，状态变量是y,控制变量是z,c，均衡的时候z=(1,1...1),c=y，这个时候的均衡p可以写成p(y)。你还有什么问题么？

貌似你最近对随机动态一般均衡理论很来劲，闲着没事你不妨推推郭凯老板rogoff的redux模型，也是一般均衡，去玩吧，非常好玩的模型。看看你能不能挑出一对毛病来，cheer up