从前,有个人娶了三房姨太太。后来,他死了。” ——《麦太太睡前故事集》
麦太太的故事结束了,话说那位老兄留下了遗嘱,三个姨太太分别可获得100、200、300元的遗产。但清算之后才发现,那个倒霉蛋留下的钱根本不够分……
实际上,这个故事早在犹太人典籍《塔木德》中就有记载。《塔木德》,作为犹太教仅次于《圣经》的经典,记载了犹太人传统口耳相传的生活习惯。是一本有关律法条例、传统习俗、祭祀礼仪的论著和注疏的汇集。
这部典籍的主要部分成书于2世纪到6世纪初,而令人称奇的是,那时的犹太 拉比 们就已经具备了出色的博弈论知识。不妨看看聪明的犹太人是如何人性化地解决这个难题的。
诡异的分配方案根据《塔木德•妇女部•婚书卷》第十章第四节,“塔木德解决方案”如下:
一房 | 二房 | 三房 | |
遗产为100元 | 100/3 | 100/3 | 100/3 |
遗产为200元 | 50 | 75 | 75 |
遗产为300元 | 50 | 100 | 150 |
按通常逻辑,这三人得到的遗产比例应为1:2:3,而在犹太先哲们的裁决中,只有在遗产数为300元的情况下这一比例才成立。没有人可以解释为什么,这个奇怪的方案也就成了千古之谜。
解铃还须系铃人,《塔木德》的解释
直到1985年,两位数学家才解决了这个问题。他们惊奇地发现塔木德解决方案竟完全符合现代博弈论的原理!
解决这个问题的数学家注意到,这个难题就在《塔木德》中留有一条提示。在《损害部•中门卷》第一章第一节中记载了这么一个故事。甲、乙分一件大衣。甲说:“大衣是我的!”,乙也说“大衣是我的!”这时,大衣两人各分一半。如果甲说“大衣是我的!”,乙说“大衣有一半是我的”,那么,甲分到 3/4,乙分到 1/4。
这个解决方案看上去也不同寻常,但对此,数学家们已有一个比较好的解释,被称作“争执大衣原则”:将总财产分为“有争议”和“无争议”部分,无争议部分财产直接分给声明者,争执双方再平分争议部分财产。 对于声称拥有一半大衣的乙来说,显然另一半并不属于他,因此只能和声称拥有全部大衣的甲平分剩余的一半。
如果《塔木德》全书秉承相同的财产观,那么“三妾分产”问题有没有可能是争执大衣原则在超过两人的情况下的推广呢?
分配方案随财产数量变化
事实也的确如此。不妨先来看看2个人按照争执大衣原则分配财产时,每人所分到的随总财产变化的情况。设甲与乙分别要求获得的财产为 c [ 1 ] 、c [ 2 ] (设甲索求较少,即 c [ 1 ]),下图橫轴表示可分配的财产E,纵轴表示每个人分配到的财产。
按照争执大衣原则两人分配
将甲、乙二人所得画成折线图如上。可以看到,当 E 不大时先两人平分,然后增长的部分只分给乙,当乙拿到一定份额时总财产继续增长的部分由两人平分。
多人争执时的财产分配
接下来我们就将这种分法推广到多人时的情形。记所有参与者要求的财产按从少到多分别为 c [ 1 ] 、 c [ 2 ] … c [ n ],总财产 E 从 0 开始慢慢增加。当 E 很小时,将 E 平均分给所有参与者,直到各方都拿到 c [ 1 ]/2 ,此时停止继续给1号参与者分配财产(记他为1,其余参与者分别记为 2 、 3 … n )。当总财产继续增加时,将增加的部分分给剩下的 n - 1 人,直到所有人都恰好拿到自己声明值的一半。此时各位参与者的声明值之差(即他的损失)恰为他要求值的一半。当 E 继续增加时,则将增加的部分分给n,直到他的损失与第 n – 1 位参与者相同,再接着将增加的部分平分给要求 n 和 n – 1 ,直到 n 的损失与 n-2 相同,再将继续增加的部分分给 n 、n - 1 、 n - 2 …… 直到所有人都分得自己所要求的份额为止。
回到最初的“三妾争产”这个案例上来。根据上述分析,我们可以画出按照这一方案分配财产情况的折线图。
按照争执大衣原则“三妾分产”财产分配情况
可以看到,这一分配方案与《塔木德》中关于“三妾争产”的记载是吻合的。至此,我们就解决了这一千古难题。
转自果壳