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雷达卡
如果你喜欢数学，那么上大学就一定要报数学专业，其他专业即使是理工科的，学的高等数学之类也仅仅是一层皮毛。除非你能够顽强的自学，否则你的数学生涯就GAME OVER了。当然，即使你报了数学专业，到最后还是要依靠自学。从这个意义上来说，报什么专业就真的无所谓了，只要负担轻就OK了。
下面的图表简单罗列了高中以后的数学到底可以走到哪里（并未涉及数论、集合论之类的另类领域）,也许你会感到有点恐怖，其实我大学时数学大致就学了这些：因为那时候没有人交流，也不是太懂得节约时间。可遗憾的是有些不怎么认真数学专业研究生，也无非是在一两个方向入门罢了：
先来看分析，很多同学都认为数学分析难学，因为它涉及的东西太多太琐碎了。既有各种初级计算技巧，甚至包括近似估计；又有深刻的理论推导，有时还一些先进的思想压缩到初步的理论中，却不能充分展开。我那时就是疲于应付，最后还是不得不退化为微积分，却又往往有所顾及，不像头脑简单的时候可以肆无忌惮的享受着计算的快乐。其实实数公理部分的不少证明细节得到平面点集拓扑才能充分展开（毕竟圆盘的覆盖要比区间的覆盖更加直观一些），又如像一致收敛这样的概念到函数空间中用确界范数才能自然理解的，而这一切都被压缩到数学分析之中。
然后看代数，高等仿佛没有什么后续课程的支持，矩阵论似乎往往与近似计算结合起来，从而更侧重应用。所以如果说到基础的话，无无疑应该是抽象代数才对。如果四年学下来，就大致了解一些群、环、域，没看到后面更加精彩的内容，恐怕就非常可惜了。我认为为高等代数应该被吸收到抽象代数里，数学专业的代数学一开始就应该讲群，让学生看到数学结构是怎样抽象出来的，也能熟悉如何在抽象的基础上分析问题。这里选代数作为培养抽象思想的突破口是因为它比较纯洁，不像分析那样依赖很多计算，而且也不用多少背景知识。如果以后再处理初等材料的话，自然就有居高临下的优越感，而线性代数的主要部分自然可以在模的角度来统一处理（高等线性代数），具体依赖数域的部分则可以作为专题——有所得就有所失，抽象也不是万能的啊！此外，先介绍群还可以作为几何学的预备知识。当然，一开始的介绍不宜太深入，作为基础至多到Sylow定理就可以了，后面还有专门的异常丰富的抽象代数课程呢。
几何的话，很多人认为入门的几何就是解析几何，但现有解析几何往往只是在熟悉常见曲面方程。其实，解析几何的概念可以推广至微分几何之前几何（包括现在所谓高等几何中非介绍性的部分），其要点在于强调群作用观点与射影空间的直观。群作用观点可以给出几何学的大体的框架，让我们知道自己是在什么舞台上活动，这样的舞台可以一直渗透到微分几何中。射影空间则可以与熟悉欧式空间相类比，对以后的代数几何也是一种直观，否则我们往往无从得知自己的把什么东西在代数化。比如我那时没注意射影几何，看到“P^2的任意两条直线都是相交的”的时候，就感到无所适从了。
其实，有些观点高的东西并不一点是难学的，有的东西难学恰恰是用低观点来解决高级领域的问题造成的。也许又有人会谈基础的重要性，但真要强调基础的话，各人的基础都是相对有差异的，不排除某些牛人能把范畴同调之类的作为他自己的基础。合理的学习路径应该是从最容易入手的地方切入，看看最后究竟能够走到哪里，所以不要让我们的学生长时间滞留那些初等的领域。只要有可能，就要尽可能的扩展与深入，然后才能找到自己的基础，并且在这样基础上继续前进，毕竟上面的那张宏伟的图表也仅仅是入门而已。
[此贴子已经被王平于2008-8-17 11:21:55编辑过]
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很有启发，谢谢lz！
看完发现自己的数学学的太少了
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