永续年金公式来历

本人数学不好，在CFA书中，永续年金的公式从PV=A/(1+r)+A/(1+r)^2+.....+A/(1+r)^N  到PV=A{[1-1/(1+r)^N]/r}，大家知道这是怎么推出来的吗？   (之后随着(1+r)^N趋向于无限大，分母约为0，公式就变成了PV=A/r)  

等比数列求和
PV=A/(1+r)+A/(1+r)^2+.....+A/(1+r)^N     式1
(1+r)PV=A+A/(1+r)+.....+A/(1+r)^(N-1)     式2
式2-式1得:
rPV=A-A/(1+r)^N=A[1-1/(1+r)^n]
PV=A{[1-1/(1+r)^N]/r}

PV=A/(1+r)+A/(1+r)^2+......+A/(1+r)^N  
可以看出這是一個等比數列(geometric progression) 公比為(1+r)^(-1)
因為公比小於1，假設R=(1+r)^(-1)
PV=A/(1+r)+A/(1+r)^2+......+A/(1+r)^N = A/(1+r)*[1+R+R^2+......+R^(N-1)]
PV*R=A/(1+r)*[R+R^2+......+R^N]
PV-PV*R=(1-R)PV=A/(1+r)*[1-R^N]
PV=A/(1+r)*[1-R^N]/(1-R)
將R=(1+r)^(-1)代入即可得
PV=A{[1-1/(1+r)^N]/r}

求极限啊， 楼上两位已经告诉你了 PV=A{[1-1/(1+r)^N]/r}  其实这个你的高一老师应该教过的 否则你高考不可能通过。 因为是永续年金， N趋向于无穷大，  1/(1+r)^N就趋向于0了， 所以PV=A/r
当然你也可以这么想
PV=A/(1+r)+A/(1+r)^2+.....
两边同乘(1+r)，则
(1+r)PV=A+A/(1+r)+.....=A+PV   
所以PV=A/r   

太棒了