实分析与泛函分析[讨论帖]

我提问题：

求助，请大虾推荐一本测度论方面的习题解答。谢谢。

      问一下，实变前面的集合论部分是否很重要，我现在捧着周民强的书和集合论的符号搏斗了几天还没看到测度。还有周民强写得这本书如果是自学的话，是不是有的地方很难读懂啊，毕竟不是学数学的，不过实变这块确实有用。有点纠结啊

我上大学时用的夏道行的实变函数与泛函分析，整整学了一年，但老师根本不大按那上面讲；上研究生时换了一个学校，那个学校的数学院本科时竟然没开泛函分析（还是全国重点大学呢），所以我又跟着学了一遍泛函分析，这回直接连教材也没有，最后复印的讲义。所以看来老师都对这门学科的教材不满呢，也许外文版的能好一些吧！22楼的朋友，集合论是学习所有数学学科的基础，所以你应该啃下这块硬骨头，以后受益匪浅呢！而且我在网上浏览了一下这本书的集合论部分（专门花了6个论坛币下的，感动吧！），不是很难，不过有些数学符号和其余教材不同，你可能被弄糊涂了。譬如差集，它用A\B，有的用A－B；另外很多结论由有限个推广到无限个。

据说夏道行的实变函数论与泛函分析09年要重印，但貌似只有一本泛函分析第二教程。

实变函数与泛函分析起码要看看学习指导。。。。。。。。。。。不然考过了都不知道是在学什么。。。。。。。。。。。。。。。。。很难学的。。。。。。。。。

zerana 发表于 2009-2-24 22:53
这个例题来自Apostol's Mathematical Analysis, p88.图中曲线的点集居然是connected set，可是明明分为两段的，有哪位知道的指教一下呀？谢谢！

我试着证明S={[-1,0],0}U{(0,1],sin(1/x)}是connected但不是arcwise connected。
如有不妥，请多指教。

wikipedia的图都蛮漂亮的。


上面有一个图分别由二个部分组成，
一部分是y=0，x从-1到0的直线–绿色线，
另一部分是x从0到1但不包含0的sin(1/x)图形–红色线。

问题在问把这两个部分连集起来成一个新的集合，
这个新集合是否具有连接且密合的特性，
如果具有这个特性接着问是否可有一条路径从绿色线跑到红色线(路径连接的特性)，
我们可以证明这个图形具有连接且密合的特性，
但不具有一条路径从绿色直线跑到红色直线的特性。

很奇怪吧！
一般来说一个具有连接密合的集合，
我们在这个集合上随便找两个点就可用一只笔将这两个点连起来。
且看下面的图：

但在最上面这个具有连接密合的集合，
直觉来看两个集合的确是相连的，
竟然不能找到一条直线从绿色线走到红色线。
证明即在证明这个现象，
只是证明过程有点复杂。

第2小题的证明仍有些不足，
稍微修改一下部分证明。

强烈推荐：
《实变函数》，张建平 丘京辉，东南大学出版社，2009年5月出版。
这是一本写得相当好的实变函数教材（各大书店和网上有卖）。
对理论体系作了精心合理的安排，对定理证明采用简洁易懂的方式，其中部分定理的证明是新颖独特的。
虽然全书篇幅不长，但是却包含了那些“大部头”实变函数专著的基本内容。
该书每一章还专门附有一节例题选讲，帮助读者掌握实变函数的基本技巧，同时给读者做习题以一定的启发。
该书既适合初学者作为教材，也适合考研者作为复习资料。
相信你看了一定会说好。

我在上面说张建平丘京辉的《实变函数》写得极为精练。
现在举几个例子比较一下。
周民强书上的定理1.7（可列个可列集之并为可列集），证明要一定的篇幅，而该书给出的证明仅二行半（定理1.4.3）。
周民强书上的定理1.10（[0，1]不是可数集），证明要大半页，而该书给出的证明仅一行（定理1.5.3）。
周民强书上的定理1.1.7（Cantor闭集套定理），证明要一定的篇幅，并且读者自己还要补充一些细节的证明，而该书给出的证明仅三行（定理2.4.3），而读者不须再补充什么。
周民强书上的定理2.4（距离外测度性质），证明较长（要先证明引理2.3），而该书给出的证明仅三行（命题3.4.8），且不需要引理。
在“点集间的距离”一节中，周民强先给出定理1.24（用覆盖定理来证明），再给出推论1.26（无证明），若要给出推论1.26的证明，则要按照定理1.24的思路用覆盖定理再来一次。而在该书中，先给出周书推论1.26的简洁证明（定理2.6.1），再把周书定理1.24作为其推论，这时理由是极为简单的，真的用不着写出来。
另外，该书在不少方面的论述（例如开集闭集的性质、函数的连续性、勒贝格积分与黎曼积分的关系等），比那些“大部头”专著讲得更为透彻。