[求助]请大家谈谈对上下极限的理解

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请大家谈谈对上下极限的理解:

 

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关键词：极限

一个数列{x_n}发散，是指它的不同的“子列”没有相同的极限。如果它的所有子列都有相同极限，就收敛了。因此，极限概念仅仅适用于收敛情况。对于只有收敛子列，但各子列收敛到不同极限的那种情况，一般的极限概念就不太让人舒服。上下极限就是对这种情况的一种描述。

如果我们把一个数列的所有子列的极限都放入一个集合A，则A的上确界就是数列的上极限，下确界就是下极限。如果所有子列都收敛到相同的极限，则A只有一个元素，这时候，上极限就是下极限，就是原数列的极限。

这种表述应该是非常简单易懂了。常见的分析书上，你看到非常令人不解的、各种符号堆砌而成的、看完就不知所云的那种定义，本质上和这里是一样的，但到现在，只有这种方式是最容易为初学者理解。

bingobingo  金币 +1  奖励 2008-9-15 21:09:24

Hi,Zerana,thank you for your kindness in elaborating on the upper and lower limits.  I also try to understand the insight of the formal definition.

actually it is one of formal definitions, which comes from baby rudin.

Please forgive my uninitiatedness, how can one define “子列” i.e.:

For a infinite set of sets { A1, A2, A3,..................................} the 子列 is

1. (A3, A4, A5} or

2. {A3, A4, A5,....................}  or

3. {A7, A200, A1090} or

4. {A7, A200, A1090.......................................}

which one is “子列”.

Thank you.

Hi,Zerana, what do you mean by baby rudin.  Is it the book " Principles of Mathematical Analysis"? Is it necessary to learn these stuff if before I learn stochastic analysis?

May be or may not be. It depends on your requirements, just as prob. If you only want to know something about prob, no prem is required. If you want to dig it throughly, measurement is the first step.

赞同2楼说法:如果我们把一个数列的所有子列的极限都放入一个集合A，则A的上确界就是数列的上极限，下确界就是下极限。

个人认为有三个要注意的地方:

1 上面所讲讲的子列都是无穷序列.

2 所有子列都收敛到相同的极限，则A只有一个元素，这时候，上极限就是下极限，就是原数列的极限.

3 A中元素的上下确界是可达的,也就说上极限,下极限分别是极限集合A中的最大最小值.

bingobingo  金币 +1  奖励 2008-9-15 21:12:35

I feel mixed with 2. "则A只有一个元素" A may not only consists of one element but may be a set consisting of a bunch of elements?

上（下）极限集有没有易懂一点的解释呢？