线性代数发展简介(转)

３.   线性方程组

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线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术――方程》章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克安劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。

19世纪，英国数学家史密斯和道吉森继续研究线性方程组理论。

史密斯是牛津大学的一位几何学教授，是对线性方程组理论做出重要贡献的科学家之一。他引进了方程组的南北方矩阵和非增广矩阵的概念。在1861年的论文中，史密斯发展了齐次线性方程组的通解概念，他用不定指标、独立解的概念建立了齐次线性方程组完全解集合的概念，证明了任何解都是独立解的线性组合，并进一步指出，要解决非齐次线性方程组，只需找到一个持解，任何解都可以表示成该特解和对应的齐次通解的和的形式。

史密斯并没有考虑独立方程的个数比实际方程的个数小的情况，这是由查理斯，L。道吉森解决的，他在1867 年发表的《行列式初论》一书中不仅讨论了AX=B的m×n矩阵A，还讨论了该方程的增广矩阵（A|B），从增广矩阵来研究方程是否是相容的，提出并证明了一个确定一般线性方程组解集性质的定理。并用构造的方法给出了证明。道吉森证明了n个未知数m个方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代线性方程组理论中的重要结果之一。

该定理已经隐含了秩的思想，但道吉森并没有抽象出来矩阵秩的概念。1879年，弗罗贝尼乌斯从前辈的研究中给出了在线性代数中重要的两个概念：矩阵的秩、线性无关性。他写到：“如果一个矩阵的所有r+1阶子式为０，但至少有一个r阶子式不为零，那么就称r为行列式的秩。”早于1879年，弗罗贝尼乌斯研究出史密斯提出的：“真正独立的方程”的意义，把这种性质定义为方程和表示方程组的n元组（即向量组）的线性无关性。尽管弗罗贝尼乌斯已经完成了线性方程组的解的性质和各种特殊类型的矩阵的性质的研究。但是直到20世纪初期，才开始用矩阵术语来组织材料的教科书，并且直到二十世纪40年代，人们才认识到矩阵和向量空间的线性变换之间的关系，因此，才把向量空间抽象地提出来，形成了今天的线性代数教学内容体系。

大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程且的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。

４，线性代数的进一步深入发展――二次型

二次型也称为“二次形式”，一个数域上的n元二次齐次多项式称为该数域上的n元二次型。二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论；当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那里并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅可比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

前面已经提到，二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的。

柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。

1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。

1858年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。

５.线性代数的扩展――从解方程到群论的产生

求根问题是方程理论的一个中心课题。16世纪，数学家们解决了三、四次方程的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。

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到了18 世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了高次方程的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列转换下的形式不变性有关，但他最终没有解决高次方程问题。拉格朗日的弟子鲁菲尼也做了许多努力，但都以失败告终。高次方程的根式解的讨论，在挪威杰出数学家阿贝尔那里取得了很大进展。阿贝尔只活了27岁，他一生贫病交加，但却留下了许多创造性工作。1824年，阿贝尔证明了次数大于四次的一般代数方程不可能有根式解。但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解。因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决问题。这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决。

伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的“容许”转换，提出了转换群的概念，得到了代数方程用根式解的充分转换群的自同构群可解。从这种意义上，我们说伽罗瓦是群论的创立者。伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学英年早逝，年仅21岁。

转换群的概念的结论是最终产生抽象群的第一个主要来源。抽象群产生的第二个主要来源则是戴德金和克罗内克有有限群及有限交换群的抽象定义以及凯莱关于有限抽象群的研究工作。另外，克莱因和庞加莱给出了无限交换群和其他类型的无限群，19世纪70年代，李开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源。

1882-1883年迪克的论文把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义。到19世纪80年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系。

20世纪80年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一，它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联第的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学、自动机理论等方面，都有重要作用。


引自http://blog.sina.com.cn/s/blog_9cfd560501012o2q.html

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