在学随机游走模型的时候一直有个困惑,随机游走模型认为股价趋势是不可预测的,即已知今天的股价,对明天股价的最好预测是股价不变。假如果真如此,股票价格应该一直围绕着今天的价格上下波动,而不会表现出上涨或者下跌的趋势。但是这与现实的股价波动是不符的,在一个较长的历史跨度内,股价一般会表现出一个上涨的趋势。这么明显的矛盾,难道金融学家会意识不到?可能很多在研究过随机游走模型的童鞋都有过这样的困惑。直到读了compell的书《TheEconometrics of Financial Markets》才解答了我这个困惑,发现直觉和理论并不矛盾。下面与大家分享下我对这个问题的理解。
最早对股价随机游走进行实证研究的是Cowlesand Jones(1937), 这两位提出了著名的CJ指标。CJ指标是在IIDIncrements 的随机游走模型基础上构建的。
假设股票价格服从geometricBrownian,并且没有drift,那么
接着,Cowlesand Jones 构建了一个 Bernoulli coin-toss 指标
和
显然,当股票价格同向变动时Y为1,当股票价格反向变动时Y为0
根据随机游走模型,股票价格同向变动和反向变动的概率相等,所以CJ指标应该等于1,即
但是Cowlesand Jones(1937)的实证结果表明,CJ指标总是倾向于大于1,即股票价格倾向于按照向上或者向下的趋势变动。这与我们的直觉也是一致的。我之前的理解也局限于此。
但是如果到此为止就否定随机游走理论,就难免太武断了。
现在我们知道,不带漂移的随机游走模型是带漂移的随机游走模型的一个特例,我们引入漂移之后,能否解释这种理论和数据的矛盾呢?
带漂移的随机游走模型如下
指标I也重新定义
其中
显然,当漂移大于0时,I等于1得概率更大,反之,I等于0的概率更大
此时,CJ指标为
可见,引入漂移后,不管漂移为正数还是负数,CJ指标总会大于等于1,等于1的情况仅仅是一个特例.只有当pai取值为0时,也就miu为0时,CJ指标才等于1.
引入漂移后的模型很好的解释了CJ指标倾向于大于1的数据特征,但是这样的解释是否充分呢? Campell又对Cowles and Jones(1937)的数据进行验证。
根据过去半个实际的数据,美国股指漂移平均值为0.08,波动率为0.21.
与Cowles and Jones(1937)计算出的CJ值 1.17非常接近,那么两者之间的差距在统计上是否显著呢,如果不显著,我们可以认为带漂移的模型很好的解释了CJ倾向于大于的现象,如果显著,则证明还有除了漂移外的其他因素未被发现。
根据First-order Taylor 近似和Central limit Theorem
若CJ为1.17,可以计算出对应的标准差为0.2537,因此1.19与1.17不存在统计上的显著差异。
这样,引入漂移之后随机游走模型就解释了CJ指标倾向于大于1,我也释然了。。。