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雷达卡
结语
“数学是研究无穷的学科。”数学与无穷确实有着不解之缘。认识论说，人的认识总是由具体到抽象，而这一认识过程从一定角度看也可以说是由有限到无限的迈进，而数学是最具抽象性的学科，这亦足以说明在向无限的迈进中，数学达到的层次是最深入的。并且在数学中，无穷是永远无法回避的。因为数学证明就是用有限的步骤解决涉及无穷的问题。数学与无穷间的关系是剪不断、理还乱的。从数学产生之日起，无穷就如影如随，伴着数学的发展齐步前进。尤其当微积分产生后，数学与无穷的联系就更紧密了。恩格斯说：“莱布尼兹是研究无限的数学的创始人。”诚如恩格斯所言，从唯物辩证法角度来看，数学的发展从初等数学到高等数学的质的飞跃，就是数学上从研究有限到研究无限的质的飞跃。微分和积分实质上都是一种极限，而极限过程就是无限过程。因此可以说，微积分在数学树立了一座认识无穷的不朽丰碑，另外康托尔的无穷集合论也使人们对无穷的认识上升到一个新层次。 然而“无穷既是人类最伟大的朋友，也是人类心灵宁静的最大敌人。”（希尔伯特语）因为征服无穷的路毕竟是这样地难行。在数学无穷发展历程中，我们已经看到征服无穷的路途中，悖论是一次次出现：芝诺悖论、贝克莱悖论、罗素悖论的出现即为例证。虽说，历经几百年，数代数学家的艰苦努力，建立的极限论、实数论、ZF公理系统解决了这些悖论及由此导致的危机。然而悖论的的清除，矛盾的回避也导致了数学确定性的一步步丧失。第三次数学危机只是于表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。希尔伯特曾企图用形式主义“一劳永逸地消除任何对数学基础可靠性的怀疑。”然而其一揽子解决方案在1930年哥德尔发现不完备定理后宣告付之东流了。哥德尔的工作使人们对无穷的认识又上升了一个层次。人们开始更深刻地明白：任何想一劳永逸解决无穷问题的努力是乌托邦式工作不可能成功。认识无穷、征服无穷之途是漫漫无际的。然而数学中没有不可知！经过一代代人的努力，人们对无穷的认识必将一次次上升到新的高度。
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