求教：偏好关系到u（x）性质的传递

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<p>微观经济学中：对于偏好性质与效用函数有如下结论：</p><p> 当且仅当偏好是凸的，u（x）是拟凹的</p><p>当且仅当偏好是严格凸的，u（x）是严格拟凹的。</p><p>请教各位该如何理解？</p>

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关键词：微观经济学 微观经济 效用函数 如何理解 下结论 经济学 如何

根据偏好凸或者严格凸的定义,可以用高数证明的 

以下是引用sungmoo在2005-8-21 12:01:00的发言：

偏好的凸性：
对于消费集内任意满足如下条件的三个消费组合x、y、z：x至少与z一样好，y至少与z一样好，
必有x与y的任意凸组合（即tx+(1-t)y，任意t在[0,1]）也至少与z一样好。

设u(·)是表征偏好的一个效用函数，根据偏好的凸性，对于消费集内任意两个消费组合x、y，由于x至少与x一样好，y至少与y一样好，不妨设y至少与x一样好，则x与y的任意凸组合必至少与x一样好，即u(tx+(1-t)y)>=min{u(x),u(y)}，任意t在[0,1]，这正是效用函数拟凹的条件。

反之，效用函数拟凹也可以说明偏好的凸性。

本想自己再叨叨两句，发现高手已经说的比我清楚了。

感悟：

必须建立一套“习题解答库”之类的结构，才能令更多的网友更轻松的获取知识的沉积。

以下是引用旗木卡卡西在2005-12-10 0:29:00的发言：

所谓拟凹函数，就是相对坐标横轴，图像里没有下凸现象的曲线。亦即对任意两点x、y属于定义域，f(ax+(1-a)y)>=min[f(x), f(y)]。容易证明，若函数是拟凹的，当且仅当其定义域的所有上轮廓集(upper contour set)都是凸的。对于效用函数来说，偏好是凸的，当且仅当效用函数是拟凹的。

至于他的意义，其实就是讨论为什么偏好一定要假定为凸的，偏好的凸性往往被解释为偏好是边际替代率是递减的（注意：是边际替代率递减，而非边际效用递减！）。从直觉上解释这种现象，就好比一个人，买苹果和桔子，他觉得1个苹果三个桔子比一个桔子三个苹果好，那么这两种消费结构直线上的点两个苹果两个桔子，也必定比一个桔子三个苹果好。这是一个二维的情况。一维则更清楚了，三个苹果如果比一个苹果好，那么两个苹果一定也比一个苹果好。随着维数增加，这个规律也是比较合理的。

另外，优化问题中把偏好假设为是凸的，再加上局部非饱和性质，使得对于任意的预算约束下，总有最大效用消费的解。否则，谈优化是没有任何意义的。

再引一个！！ 

首先有这样一个结论 u(x)拟凹等价于上等值集{x:u(x)>=k},是凸集，
偏好的凸即为{x:u(x)>=k}为凸集，->u(x)拟凹