请教大侠一个证明题

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请问一下吉本斯的博弈论第二章的习题里提到的“乐善好施悖论”怎么证明啊？

我觉得他关于函数的性质不足以推导出严格的数学证明……

题目大致是这样的：

一个家庭，有小孩和家长两个博弈参与人，两人的收入分别为Ic和Ip，是外生给定的；博弈分两期，小孩在第一期决定一个储蓄额S，并在本期消费Ic－S，获得效用U1（Ic－S）；家长观察小孩的选择，然后选择一个赠与额B给小孩；于是小孩的第二期效用是U2（S＋B）；家长的收益分两部分V（Ip－B）＋k【U1（Ic－S）＋U2（S＋B）】，其中k大于零，表示家长对小孩福利的关心程度

要求证明：在这种情况下小孩的储蓄会很少

偶觉得他的思路应该很明显，从家长的收益中推导出其最优反应函数，我想应该是（在一定条件下）是要求让小孩在两个时期平稳消费。但是偶不能给出严格的数学证明：（

请各位大侠指点指点

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关键词：证明题 各位大侠 储蓄额 吉本斯 博弈论 请教 大侠

过程是这样的。

首先对父母求最优，得到一阶条件是v'(Ip-B)/U2'(S+B)=k。由这个式子，易得B是S的减函数，且B随S的变化率始终小于1。用不太严谨的式子表示，即-1 < B'(S) < 0。

然后对孩子求最优，得到孩子的最优储蓄量S*满足U1'/U2'=1+B'(S*)，所以0 < U1'/U2' < 1，即U1' < U2'。孩子的福利在下述条件下达到最优：最后一单位金钱用在当期消费和未来消费所带来的边际效用相等，即U1'=U2'。而在两阶段博弈的情况下，却是U1' < U2'。又因为U1和U2都是递增凹函数，所以Ic-S过大（也即S过小），而S+B过小。因此，适当增加S，并相应减小B，会减小Ic-S并增大S+B（虽然B(S)递减，但减小的量小于S增加的量），从而提高孩子的福利，并可以最终达到U1'=U2'的水平。当然，在B减小和孩子福利提高的情况下，父母的福利也会提高。

2楼的解答完全正确。这是一个典型的二阶段完全信息博弈，运用逆向归纳法，先假定S给定，计算父母的最优决策，即对B求导；接着假定B给定，注意此时B是S的函数，再对孩子的两阶段效用函数加总求S的导数；将第一次的计算结果代入第二次计算，即可得到2楼的解释。

这好像是什么“坏男孩效应”？运用在投资决策当中很普遍，其实类似于国有企业的软预算约束现象，不是吗？我觉得大家应该在解题的基础上考虑其运用，这样学习效果或许更好。

此似乎是贝克尔的Rotten Kid Theorem，是说在一个二人系统中，其中有一个利他的，那么即使另一个人是利己的，他也会表现得利他。非常有意思！

前提应该是u,v均为增函数吧？

2楼的，问一个弱智的问题，

“首先对父母求最优，得到一阶条件是v'(Ip-B)/U2'(S+B)=k。由这个式子，易得B是S的减函数“

是这么来的吗？

如果b增加，s不变或增加,则U2'(S+B)增加，所以v'(Ip-B)增加，则Ip-B增加，则b减少，不成立，所以s只能减少。

那就意味着u,v必须同为增函数或同为减函数吧？

还有B'(S)大于-1怎么来的呢？

[此贴子已经被作者于2005-8-28 10:42:25编辑过]

以下是引用tjzgf在2005-8-28 10:34:05的发言：

2楼的，问一个弱智的问题，

“首先对父母求最优，得到一阶条件是v'(Ip-B)/U2'(S+B)=k。由这个式子，易得B是S的减函数“

是这么来的吗？

如果b增加，s不变或增加,则U2'(S+B)增加，所以v'(Ip-B)增加，则Ip-B增加，则b减少，不成立，所以s只能减少。

那就意味着u,v必须同为增函数或同为减函数吧？

还有B'(S)大于-1怎么来的呢？

一般地，效用函数都是递减的增函数，否则难以保证一阶条件得到最优解。

还有B'(S)大于-1怎么来的呢？谢谢

以下是引用tjzgf在2005-8-28 14:10:05的发言： 还有B'(S)大于-1怎么来的呢？谢谢

此题不需要证明B'(S*)大于-1，只需证明它小于0即可，因为我们归根结底是要在第二步证明编辑效用之比小于1。

明白了，谢谢版主。