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雷达卡
导读：一提到数学，就有很多不同的说法。数学的重要性不言而喻，但是数学思维反而更值得我们思考和学习。
欢迎交流~~~
我个人是数学爱好者，也看过很多数学书，但是有一个问题却时常萦绕在脑海中：什么是数学思维？难道仅仅用标准严格的数学方法证明某个数学难题吗？
当然，答案是否定的。这从数学在许多学科中的作用和影响力可以看出。下面几个例子是自己在学习、生活和工作中的感悟，带有反思性，这里分享一下。
我从小接受的教育是学习牛人的精华，集百家之长。直到毕业时，我还把这个观点当做指南针。现在，谈不上否定该观点，但却多了许多反思。
通过对“系统性”这个词的反思，使得自己对“集百家之长”有了新的认识。给系统性下一个定义很难（就像如何定义椅子一样），举例子到更容易理解。比如微积分教材，里面包含微分、积分和级数这三大块，彼此之间既有联系，又有交叉。你不能只学微分学，就认为自己搞定微积分了。更形象的例子是把系统想象成一台复杂的机器：
这台机器由许许多多零部件组成，单拿出来大部分零件都很简单平凡，少数部件非常复杂和精细，组装成机器之后看起来无比复杂。复杂性是系统的一个典型特征。
精华部分一般指那种复杂和精细的部件。但是，整台机器若想正常工作，必须所有部件都密切配合，正常工作。如果某个简单平凡的部件坏掉了，则会影响整个系统的运行，甚至产生严重后果。很多重大事故的事后调查表明，造成杯具的原因往往是一些不起眼的小问题，比如某个铆钉松了，但后果太严重了。
在实践中，我意识到学习某种技能必须系统地学习，环环相扣，小招和大招都得学。如果仅学一堆所谓精华，大都是孤立的，用起来恐怕适得其反。因为精华也是可以互相掣肘和抵消的，比如世界明星队未必踢得过巴西队。只有鲜花，没有绿叶，那不是春天，也谈不上美景。
我的一位朋友向我抱怨，他们公司之所以效率低是因为聪明人太多。对此，我很不理解。后来，他解释道，一个个都太精明，都想当红花，专挑好活儿做。有些活费力不讨好，油水少，但是必不可少，结果大家谁都不愿意做。最终导致很多项目进度缓慢，效率低下。
我后来才意识到，把这个公司看做一个系统，大家都想要精华，结果没人要做不精华的地方，这就是一个社会的例子。当然，这里必须强调，我的观点不是否定精华，也不是说糟粕好，而是指出必须从整体和系统的角度看问题。
集百家之长固然美好，但是若没有很好的衔接，恐怕只是空中楼阁。实际上，一个人的天赋、能力和时间都是有限的，我感觉与其集百家之长，不如系统学习几样熟悉的东西实在。很多院士也就熟悉本专业2到3个分支，其它分支了解得也不深。
1、如何系统学习呢？这是个很大的问题，没有统一的答案。我个人的经验是，如果你从事某一行，那么应该夯实基础，从经典教材学起，然后过度到操作手册，并不断实践。如果不是主业，可用的时间和精力有限。那么，可以看看该行业高手写得科普书和操作手册。一部该行业操作手册就是一个系统啊。
我个人的经历表明，对于困扰外行的问题，弄得灰头土脸，在内行人看来这都不是事，很容易搞定。于是，敬佩之情犹如黄河之水，滔滔不绝。后来偶然看到该行业的操作手册才发现，原来困扰自己的大部分问题该怎么办，手册上都明明白白写着呢。所以，自己不断地留心搜集各行业操作手册，就像搜集数学文章一样。
在搜集过程中，我发现绝大多数专业人士中，没多少人系统看本行业操作手册的。很多事故原因都是操作人员违规操作造成的，而正确的操作是什么，手册里明明白白写着呢。当然，有的操作手册里个别地方写得也有问题。
2、学人家的方法为什么学成四不像？
很多人都有这样的经历，学习别人的方法（假定方法确实好）后，发现为什么人家用的好，自己用的很差，到后来变成了四不像？于是感叹自己天赋不足之类的。有的方法确实是仅限于牛人使用的，但这样的情况是少数。
关于四不像，自己也反思过，这里谈谈个人的不成熟看法。除了前面指出的要系统学，不能只学精华的原因。另一个重要原因是，很多人学习某种方法时都会进行局部调整或修改，所谓“自身化”（类似符合国情一样）。通常这种修改很小，也很自然，以至于很多人低估了其影响。
其实，想想非欧几何就明白了，它只修改了平行公理，别得公理保持不变。但是由此得到的非欧几何与欧几里得几何差别可就大了。比如在双曲几何里，三角形面积不能任意大，相似即全等，不存在矩形等结论令人吃惊。
我们作一下类比，将一套系统的方法视作一种理论。这套方法的基础或假设视作原理或公理。当你采取类似“符合国情”的修改某个原理时，得到的新理论体系已经不是原来体系了。
更隐蔽的情况是修改推论，而不是原理。多数情况是，某人自认为自己承认那些原理，但是在后续实践中修改了某个推论（或定理）P，理由是要符合自身实际情况。假定他采用了“非P”作为定理。学过数学的人都知道，此时他已经否定了至少某一个公理，即推出命题P的那些公理。但是，他一直认为自己没有否定那些公理。于是，他自己都不知道，他已经是四不像了（自相矛盾）。
当然，你不能说一套系统方法就是一套公理系统，但是可以类比。上面提及的问题在社会领域中更常见。
3、牛人常用“三系法”
“三系法”是自己起的名字，就是用三种互相独立的方法考虑同一个问题，可以增加胜算概率。三系法有直观的解释，考虑一个三个元件的并联系统，只有三个元件都坏掉了，此并联系统才无法工作。
我观察到一个现象：一套方法可以称为一个绝招，很多老手把这一招用得很熟练，但远不到出神入化的境界。有些牛人，并没有把某一招用的出神入化而取得成功，而是采用了组合招法。具体说，牛人把三个子系统组成一个总系统。他的解释是，真正的高手没几个玩高难度的，把自己逼到绝境，真正的高手应该像庖丁解牛一样。
可能采用量化思想更直观一些，假设三个子系统的有效率为 ，则三个子系统构成的总系统有效利率为
P=1−(1−P_1)(1−P_2)(1−P_3)
我也反思过为什么是三个？个人看法是：现实中，互相独立这个条件太苛刻，也很难验证。两个子系统合成的有效率不够，三个恰好。理论上四个更好，但是独立性难以保证。实际应用中经常把独立性弱化为低相关性。很多商人不懂 这个公式，但在做生意时往往用到了三系法思想，比如，他做一笔买卖时，会找出尽可能多的理由，然后归类。很少，因为一个理由就做此买卖。理由越多，买卖盈利的胜算越大，这已经是三系法思想了。
4、实用的冗余思想
冗余是一个工程中非常普遍而实用的概念，类似余量和备份。举个例子，你设计一座桥梁，估计车辆正常行驶时的载重量是300吨，但是在建造时是桥梁按500吨的载重量设计的，这就是工程中的冗余思想（类似投资中的安全边际）。
我曾反思过为什么冗余思想在工程中如此广泛。目前找到两个理由：
（1）、准确性考虑。接触过实际问题就会发现，现实世界比书本复杂多了，再考虑到可操作性因素，准确性很难做到，或者说基本无法做到。多数工程主要依赖实验，而不是理论。搞理论的人往往在实践中很尴尬。
（2）、稳定性考虑。就实践来讲，稳定性往往比准确性重要。很多项目要考虑正常载荷、误差和极端情况等因素。不能说极端情况发生概率小就不予考虑，因为后果太严重。扩大安全空间可以增加稳定性，这种思想既自然，也具有可操作。
理论上冗余越多越好，但是成本也自然上升。中国桥梁问题不少，但是一些老桥却相当“桥坚强”，其中的重要原因是这些老桥建筑材料后，冗余度大。
当然，如果一个系统里的每一个零部件都采用很大的冗余度话，这个系统可能因为过于庞大而无法运转。所以，从系统角度讲哪些地方冗余度大一些，哪些地方冗余度小一些，这可是门学问和艺术。
这里提出以上四个问题，希望引起大家的反思。不能狭义地理解数学思维，要活学活用，移花接木也是一种创新。用数学思维不一定需要高深，平凡的数学也能闪耀智慧的光辉。
转自imath
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