Semiparametric Modeling of Implied Volatility

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Semiparametric Modeling of Implied Volatility
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1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 The Implied Volatility Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 The Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 The Self-Financing Replication Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Risk Neutral Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 The BS Formula and the Greeks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 The IV Smile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Static Properties of the Smile Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Bounds on the Slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.2 Large and Small Strike Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 General Regularities of the IVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.1 Static Stylized Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.2 DAX Index IV between 1995 and 2001 . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 Relaxing the Constant Volatility Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.1 Deterministic Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8.2 Stochastic Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9 Challenges Arising from the Smile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9.1 Hedging and Risk Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9.2 Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10 IV as Predictor of Realized Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.11 Why Do We Smile? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.12 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Smile Consistent Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 The Theory of Local Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Backing the LVS Out of Observed Option Prices . . . . . . . . . . . . 51
3.4 The dual PDE Approach to Local Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 From the IVS to the LVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Asymptotic Relations Between Implied and Local Volatility . . . 60
XIV Contents
3.7 The Two-Times-IV-Slope Rule for Local Volatility . . . . . . . . . . . 62
3.8 The K-Strike and T-Maturity Forward Risk-Adjusted Measure 64
3.9 Model-Free (Implied) Volatility Forecasts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.10 Local Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.10.1 Deterministic Implied Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.10.2 Stochastic Implied Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.10.3 Reconstructing the LVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.11 Excellent Fit, but...: the Delta Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.12 Stochastic IV Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.13 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Smoothing Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Nadaraya-Watson Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.1 Kernel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.2 The Nadaraya-Watson Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Local Polynomial Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Bandwidth Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.1 Theoretical Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.2 Bandwidth Choice in Practice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5 Least Squares Kernel Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.1 The LSK Estimator of the IVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.2 Application of the LSK Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Dimension-Reduced Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2 Common Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.1 The Family of CPC Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.2 Estimating Common Eigenstructures . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.3 Stability Tests for Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . 134
5.2.4 CPC Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.5 Empirical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3 Functional Data Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3.1 Basic Set-Up of FPCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.2 Computing FPCs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4 Semiparametric Factor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.4.1 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4.2 Norming of the Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.4.3 Choice of Model Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4.4 Empirical Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.4.5 Assessing Prediction Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Contents XV
6 Conclusion and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
A Description and Preparation of the IV Data . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.1 Preliminaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.2 Data Correction Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
B Some Results from Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
C Proofs of the Results on the LSK IV Estimator . . . . . . . . . . . . 201
C.1 Proof of Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
C.2 Proof of Asymptotic Normality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

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