求助BS模型中含有动态波动率的偏微分方程证明

问题如图，BS偏微分方程中，波动率也是时间的函数，并且单调递增，有上确界，证明：波动率达到最大时，定价也有最大值。如果不是给出反证。请给出详细证明步骤。注：标准的BS解关于时间一导为负，而关于波动率一导为正。

frankyeying 发表于 2016-5-11 11:01
BS公式肯定不容易看出来，因为有t，你不知道c到底怎么在变化，还是要注意c是t的减函数！！

你改变的是方程中的sigma，其它东西没有变，所以根本不需要考虑你说的那些事，只用考虑sigma对C的影响就够了，前面我说过了只有你改变S过程里面sigma的设定，你说的问题才需要考虑

不需要证明吧，方程左侧关于波动率单调递增，所以会小于波动率去极值的的情况，所以右侧也小于波动率取极值的情形，即rC<rCmax。

crossbone254 发表于 2016-5-6 18:11
不需要证明吧，方程左侧关于波动率单调递增，所以会小于波动率去极值的的情况，所以右侧也小于波动率取极值 ...

左侧波动率单调递增，但第一项C/t递减，所以你能具体点吗

frankyeying 发表于 2016-5-7 11:29
左侧波动率单调递增，但第一项C/t递减，所以你能具体点吗

你只改了波动率，其它没改，不需要考虑C对t的偏导。
你仔细观察Cmax的定义方程的左侧，和C定义方程的左侧只是把波动率改成其极值。其它项没有变化，不会影响的。除非是把S的过程里面的sigma改成sigma_max，那就需要考虑其它项的变化了，不然我之前的推理应该是正确的

crossbone254 发表于 2016-5-7 12:24
你只改了波动率，其它没改，不需要考虑C对t的偏导。
你仔细观察Cmax的定义方程的左侧，和C定义方程的左侧 ...

我说的C对t的偏导为负数是基于BS的解。考虑C对于sigma偏导为正，且sigma又是t的增函数（假设），所以最终不知C对于t的偏导正负。以上都是从BS解的角度出发的。仅从定义方程能知道sigma.MAX时对应的解C一定是MAX？？

frankyeying 发表于 2016-5-8 13:53
我说的C对t的偏导为负数是基于BS的解。考虑C对于sigma偏导为正，且sigma又是t的增函数（假设），所以最终 ...

我个人的理解这样证就行了，另外有个更简单的办法，原方程的解就是BS公式，从BS公式容易看出期权价格关于sigma单调递增，自然就可以得出C<Cmax

crossbone254 发表于 2016-5-8 15:46
我个人的理解这样证就行了，另外有个更简单的办法，原方程的解就是BS公式，从BS公式容易看出期权价格关于 ...

BS公式肯定不容易看出来，因为有t，你不知道c到底怎么在变化，还是要注意c是t的减函数！！

crossbone254 发表于 2016-5-11 11:19
你改变的是方程中的sigma，其它东西没有变，所以根本不需要考虑你说的那些事，只用考虑sigma对C的影响就够 ...

S过程里面sigma是什么意思

最后总结下这个问题，sigema如果是时间的函数，这个问题就比较复杂，因为偏微分方程就成了变系数偏微分方程。如果sigema是独立变化的话，本方程还是定系数方程，所以解的单调性还是和原方程一样。此处还是考虑方程系数变化与否。