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传统的面板数据分析假设Y和X的关系对所有个体都是同质的，而异质性主要体现在截距项。当我们考察动态面板数据模型时，变截距模型可以写为
Y(it)=aY(it-1)+bX(it)+c(i)+u(it)， （1）
其中i表示第i个cross-sectional unit，t表示第t期的观测值，c(i)是随个体i在改变的截距项。模型参数a和b的估计方法就是用上次推文介绍的system GMM或者difference GMM方法。Pesaran et al. (1999)在这篇文章中假设所有系数都可能随个体i在改变，因此不仅截距在改变，斜率也在改变，比如：
Y(it)=a(i)Y(it-1)+b(i)X(it)+c(i)+u(it)， （2）
之所以考虑这种异质性面板模型，是由于在宏观经济学研究中，每个地区或者国家的制度文化等不可观测因素往往呈现系统性差别，这些差别不仅会影响回归的截距项c(i)，还有可能影响Y对X变化的敏感程度。比如当一个国家的政治制度不倾向于保护私有产权的话，同样的投资X对经济Y的拉动作用就可能比那些保护私有产权的国家来的小。而这些制度因素是很难观测到的，同时又是随着不同国家在改变的。当每个个体观察的期数足够长，或者T很大时，Pesaran and Smith (1995)提出可以对每个国家的方程单独做OLS回归，每个国家的a(i)，b(i)和c(i)分别估计出来，再把这些个体的估计量做一个简单平均，得到平均的效应，比如b=(b(1)+…+b(N))/N就表示X对Y的平均效应，Pesaran and Smith (1995)把这个估计量叫做Mean Group(MG) estimator。在动态面板模型中，我们不仅可以研究X对Y的短期影响，还可以研究X对Y的长期影响。在这个例子中，对每个i而言，短期影响都是b(i)，即当期的X对当期的Y的影响。而长期影响则是b(i)/(1-a(i))，即当期的X对未来所有期的Y的影响。当b(i)和a(i)都随个体改变时，长期影响b(i)/(1-a(i))也会随个体改变。但是Pesaran et al. (1999)认为真实情况可能是每个国家短期影响是各有差异的，但长期影响往往是一样的，也就是说尽管每个国家初始禀赋不一样，制度，文化，环境等外生因素不一样，经济在发展过程中所走的路径和速度也不一样，但最终收敛到的终点是一样的，正所谓条条大路通罗马。在这个假设下，我们不能使用MG estimator对每个国家单独做OLS回归，因为这样回归所得的长期影响也会出现国家和国家之间不一样的情况，为了克服这一问题，Pesaran et al. (1999)在这篇文章中构造了所谓的Pooled Mean Group（PMG）estimator，这一estimator介于纯粹的dynamic panel GMM模型和纯粹的异质性模型之间，它仍然允许b(i)，a(i)，c(i)随个体在改变，但是长期影响b(i)/(1-a(i))则不随个体改变。Pesaran et al. (1999)将（2）扩展到一般的自回归分布滞后模型ARDL，再将ARDL模型写为误差修正的形式，从而把长期影响作为一个单独的参数包括进入回归方程中，参加Pesaran et al. (1999) （6）式。如果我们假设误差项u(it)是独立同分布的正态分布的话，就可以利用误差修正模型将观测值的likelihood function写出来，而所有参数的估计值就是最大化这个likelihood function的那些参数值。当然，由于likelihood function是这些参数的非线性函数，极大似然估计是没有closed form的，只能使用Newton-Raphson等数值方法求得，Pesaran et al. (1999)也推荐了以式（9）-（11）为基础的渐次迭代法以求得likelihood function的最大值。在应用这一方法的时候，Pesaran et al. (1999)指出不管X(it)是平稳的还是有单位根存在，所得到的极大似然估计都是一致的和渐进正态的，并给出了渐进方差的形式，从而我们可以利用Wald, Likelihood Ratio和Score test来检验各种我们感兴趣的假设。另外要注意的问题就是使用这一方法，要求Panel data的时间维度足够大，而横截面维度可以是固定的，也就是一般在宏观经济学里面比较常用的长面板，毕竟对每个i的短期效应和截距项b(i)，c(i)都要估计出来，光是N大是没用的。PMG estimator目前在STATA里面可以使用xtpmg函数获得，关于该函数的使用说明，请参阅Blackburne and Frank (2007)。
参考文献
Pesaran, M. H. and Smith, R. P., 1995. Estimating Long-Run Relationship from Dynamic Heterogeneous Panels. Journal of Econometrics 68, 79-113.
Blackburne, E. F. and Frank, M. W., 2007, Estimation of Nonstationary Heterogeneous Panels. The Stata Journal 7, 197-208
Abstract
It is now quite common to have panels in whichboth T, the number of time series observations, and N, the numberof groups, are quite large and of the same order of magnitude. The usual practiceis either to estimate N separate regressions and calculate thecoefficient means, which we call the mean group (MG) estimator, or to pool thedata and assume that the slope coefficients and error variances are identical.In this article we propose an intermediate procedure, the pooled mean group(PMG) estimator, which constrains long-run coefficients to be identical butallows short-run coefficients and error variances to differ across groups. Weconsider both the case where the regressors are stationary and the case wherethey follow unit root processes, and for both cases derive the asymptoticdistribution of the PMG estimators as T tends to infinity. We alsoprovide two empirical applications: aggregate consumption functions for 24Organization for Economic Cooperation and Development economies over the period1962-1993, and energy demand functions for 10 Asian developing economies overthe period 1974-1990.
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